Question

найдите n и запишите разложение бинома (x+3)^n если сумма коэффициентов биномиального разложения равна 16

Answer 1

Если n = 0, то сумма коэффициентов = 1 ( $(x+3)^0=1$).
Если n = 1, то сумма коэффициентов = 2 ( $(x+3)^1=1 \cdot x+1 \cdot 3$).
Если n = 2, то сумма коэффициентов = 4, коэффициенты равны 1, 2, 1.
Если n = 3, то сумма коэффициентов = 8, коэффициенты равны 1, 3, 3, 1.
Если n = 4, то сумма коэффициентов = 16, коэффициенты равны 1, 4, 6, 4, 1.
Поэтому n = 4.
$(x+3)^4 = 1 \cdot x^4 + 4 \cdot 3x^3 + 6 \cdot 3^2x^2 + 4 \cdot 3^3x + 1 \cdot 3^4 =$ $x^4+12x^3+54x^2+108x+81$

Answer 2

Для нахождения значения n и разложения бинома (x+3)^n с суммой коэффициентов, равной 16, мы можем использовать бином Ньютона и свойство суммы коэффициентов, которая равна 2^n.

Бином Ньютона для разложения (x + 3)^n имеет следующий вид:

(x + 3)^n = C(n, 0) * x^n * 3^0 + C(n, 1) * x^(n-1) * 3^1 + C(n, 2) * x^(n-2) * 3^2 + ... + C(n, n) * x^0 * 3^n

где C(n, k) - биномиальный коэффициент, равный n! / (k! * (n-k)!) для целых неотрицательных n и k.

Сумма коэффициентов этого бинома равна сумме всех биномиальных коэффициентов:

Сумма всех коэффициентов = C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + ... + C(n, n) = 2^n

У нас дано, что сумма всех коэффициентов равна 16. Теперь решим уравнение:

2^n = 16

Чтобы решить это уравнение, найдем логарифм по основанию 2 от обеих сторон:

n * log2(2) = log2(16)

Поскольку log2(2) = 1, упростим уравнение:

n = log2(16) = 4

Таким образом, значение n равно 4.

Теперь, зная значение n, мы можем записать разложение бинома (x + 3)^n:

(x + 3)^4 = C(4, 0) * x^4 * 3^0 + C(4, 1) * x^3 * 3^1 + C(4, 2) * x^2 * 3^2 + C(4, 3) * x^1 * 3^3 + C(4, 4) * x^0 * 3^4

Расчитаем биномиальные коэффициенты:

C(4, 0) = 1 C(4, 1) = 4 C(4, 2) = 6 C(4, 3) = 4 C(4, 4) = 1

Теперь подставим значения в разложение:

(x + 3)^4 = 1 * x^4 * 3^0 + 4 * x^3 * 3^1 + 6 * x^2 * 3^2 + 4 * x^1 * 3^3 + 1 * x^0 * 3^4

Упростим выражение:

(x + 3)^4 = x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81

Таким образом, разложение бинома (x + 3)^4 с суммой коэффициентов, равной 16, равно x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81.