Question

Cos2x+cos14x+cos6x+cos10x преобразовать в произведение

Answer 1

Cos2x+cos14x+cos6x+cos10x =
= 2cos8xcos6x+2cos8xcos2x =
= 2cos8x(cos6x+cos2x) = 4cos8xcos4xcos2x

Answer 2

Для преобразования выражения в произведение, воспользуемся формулами для тригонометрических сумм и разностей:

1. Формула для cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
2. Формула для cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Из этих формул, мы можем получить следующие соотношения:

1. cos(2x) = cos(x + x) = cos(x)cos(x) - sin(x)sin(x) = cos^2(x) - sin^2(x)
2. cos(14x) = cos(10x + 4x) = cos(10x)cos(4x) - sin(10x)sin(4x)
3. cos(6x) = cos(10x - 4x) = cos(10x)cos(4x) + sin(10x)sin(4x)
4. cos(10x) = cos(6x + 4x) = cos(6x)cos(4x) - sin(6x)sin(4x)

Теперь, мы можем переписать исходное выражение с использованием этих соотношений:

cos(2x) + cos(14x) + cos(6x) + cos(10x) = (cos^2(x) - sin^2(x)) + (cos(10x)cos(4x) - sin(10x)sin(4x)) + (cos(10x)cos(4x) + sin(10x)sin(4x)) + (cos(6x)cos(4x) - sin(6x)sin(4x))

Обратите внимание, что второе и третье слагаемые дают одинаковый результат, поэтому они могут быть объединены:

= cos^2(x) - sin^2(x) + 2(cos(10x)cos(4x)) + (cos(6x)cos(4x) - sin(6x)sin(4x))

Далее, используем формулу для cos(2a) = 2cos^2(a) - 1:

= cos^2(x) - sin^2(x) + 2cos(10x)cos(4x) + 2(cos(6x)cos(4x) - sin(6x)sin(4x)) - 1

= cos^2(x) - sin^2(x) + 2cos(10x)cos(4x) + 2cos(10x)cos(4x) - 2sin(6x)sin(4x) - 1

Теперь, мы заметили, что первые два слагаемых в скобках сокращаются, так как cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x), поэтому:

= cos(2x) + 4cos(10x)cos(4x) - 2sin(6x)sin(4x) - 1

Далее, используем формулу для sin(2a) = 2sin(a)cos(a):

= cos(2x) + 4cos(10x)cos(4x) - 2 * 2sin(6x)cos(6x) - 1

= cos(2x) + 4cos(10x)cos(4x) - 4sin(6x)cos(6x) - 1

Теперь мы заметили, что последние два слагаемых также могут быть преобразованы с использованием формулы для sin(2a):

4sin(6x)cos(6x) = 2 * 2sin(6x)cos(6x) = 2sin(12x)

Подставим это обратно в выражение:

= cos(2x) + 4cos(10x)cos(4x) - 2sin(12x) - 1

Таким образом, исходное выражение преобразуется в:

cos(2x) + cos(14x) + cos(6x) + cos(10x) = cos(2x) + 4cos(10x)cos(4x) - 2sin(12x) - 1