Question

Знайдіть екстремуми функції y=1/3 x³-2x²

Answer 1

У=1/3*х³-2х²
у'=1/3*3*х²-4х=х²-4х
у'=0;х²-4х=0;х(х-4)=0;х1=0;х2=4
у'>0 функция возрастает
у'< функция убывает
х²-4х>0
х(х-4)>0
х€(-бес;0)+(4;+бес)
х(х-4)<0
х€(0;4)
__+__0___-___4___+_____
х=0 максимум
х=4 минимум

Answer 2

Для знаходження екстремумів функції y = (1/3)x³ - 2x², спочатку потрібно знайти похідну функції і прирівняти її до нуля, щоб знайти точки, де похідна дорівнює нулю (критичні точки). Потім перевіримо знак похідної навколо кожної критичної точки, щоб визначити, чи є екстремуми у цих точках.

1. Знайдемо похідну функції y = (1/3)x³ - 2x²:

y' = d/dx ((1/3)x³ - 2x²) y' = (1/3) * 3x² - 2 * 2x y' = x² - 4x

2. Знайдемо критичні точки, прирівнюючи похідну до нуля:

x² - 4x = 0

3. Розв'яжемо рівняння для знаходження значень x:

x(x - 4) = 0

x = 0 або x = 4

4. Знайдемо значення y у критичних точках:

Для x = 0: y = (1/3) * 0³ - 2 * 0² = 0

Для x = 4: y = (1/3) * 4³ - 2 * 4² = (1/3) * 64 - 2 * 16 = 64/3 - 32/3 = 32/3

Таким чином, маємо дві критичні точки: (0, 0) і (4, 32/3).

5. Перевіримо знак похідної навколо кожної критичної точки:

• При x < 0: Підставимо в похідну значення x = -1 (як приклад): y' = (-1)² - 4 * (-1) = 1 + 4 = 5 (похідна додатня) Отже, навколо x = 0 функція зростає.

• При 0 < x < 4: Підставимо в похідну значення x = 1 (як приклад): y' = 1² - 4 * 1 = 1 - 4 = -3 (похідна від'ємна) Отже, навколо x = 2 функція спадає.

• При x > 4: Підставимо в похідну значення x = 5 (як приклад): y' = 5² - 4 * 5 = 25 - 20 = 5 (похідна додатня) Отже, навколо x = 4 функція зростає.

6. Висновок:

Таким чином, у точці (0, 0) функція має мінімум, а у точці (4, 32/3) має максимум.