Question

|x-1|+|2-x|>3+x решите неравенство

Answer 1

|x-1|+|2-x|>3+x    
Подмодульные выражения равны нулю при x₁=1 и x₂=2.    ⇒
1) x∈(-∞;1)
-x+1+2-x>3+x
3x<0  |÷3
x<0  ⇒
x∈(-∞;0)
2) x∈(1;2)
x-1+2-x>3+x
x<-2 ∉
3) x∈(2;+∞)
x-1-2+x>3+x
x>6   ⇒
x∈(6;+∞)
Ответ: x∈(-∞;0)U(6;+∞).

Answer 2

Для решения данного неравенства с модулями нужно рассмотреть несколько интервалов, на которых значения выражения |x-1|+|2-x| могут меняться, и проверить условие неравенства в каждом из них.

1. При x < 1: В этом случае оба выражения в модулях станут отрицательными, так как оба выражения внутри модулей будут меньше 1: |x-1| = 1 - x |2-x| = 2 - x Тогда неравенство примет вид: (1 - x) + (2 - x) > 3 + x 3 - x > 3 + x 2x < 0 x < 0

2. При 1 ≤ x ≤ 2: В этом диапазоне выражения в модулях примут следующие значения: |x-1| = x - 1 |2-x| = 2 - x Неравенство: (x - 1) + (2 - x) > 3 + x 1 > 3 + x x < -2 (это неверное неравенство в данном диапазоне)

3. При x > 2: В этом случае оба выражения в модулях станут положительными, так как оба выражения внутри модулей будут больше 2: |x-1| = x - 1 |2-x| = x - 2 Тогда неравенство примет вид: (x - 1) + (x - 2) > 3 + x 2x - 3 > 3 + x x > 6

Таким образом, решением неравенства является объединение всех диапазонов, где выполняются условия: x < 0 или x > 6.

Математически это можно записать в виде интервала: x ∈ (-∞, 0) ∪ (6, +∞).