Question

исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики. y=x^3-9x^2+24x-18

Answer 1

Анализ функции, её график и таблица точек для построения приведены во второй части приложения.

Answer 2

Для исследования функции и построения её графика, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.
2. Найти точки экстремума (максимумы и минимумы) и точки перегиба.
3. Найти интервалы возрастания и убывания функции.
4. Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции.
5. Нарисовать график функции.

Давайте начнем!

1. Найдем производную функции y = x^3 - 9x^2 + 24x - 18:

y' = d/dx (x^3 - 9x^2 + 24x - 18) y' = 3x^2 - 18x + 24

2. Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

3x^2 - 18x + 24 = 0

Решая это квадратное уравнение, получим:

x = (18 ± √(18^2 - 4 * 3 * 24)) / 2 * 3 x = (18 ± √(324 - 288)) / 6 x = (18 ± √36) / 6 x = (18 ± 6) / 6

Таким образом, получаем две точки экстремума: x1 = (18 + 6) / 6 = 4 x2 = (18 - 6) / 6 = 2

3. Найдем точку перегиба, приравнив вторую производную к нулю и решим уравнение:

y'' = d^2/dx^2 (3x^2 - 18x + 24) y'' = 6x - 18

6x - 18 = 0 6x = 18 x = 3

Таким образом, точка перегиба у нас при x = 3.

4. Теперь определим интервалы возрастания и убывания, а также интервалы выпуклости и вогнутости. Для этого составим таблицу знаков первой и второй производных на разных интервалах:

scssCopy code
Интервал | y' (знак) | y'' (знак)
-------------------------------
(-∞, 2)  |   +      |   -
(2, 3)   |   +      |   +
(3, 4)   |   +      |   +
(4, +∞)  |   +      |   -

Теперь можем сделать выводы:

• Функция возрастает на интервале (-∞, 2) и (3, 4).
• Функция убывает на интервале (2, 3).
• Функция выпукла на интервале (2, 3) и (3, 4).
• Функция вогнута на интервале (-∞, 2) и (4, +∞).

5. Теперь нарисуем график функции:

Для этого я рекомендую использовать какой-либо математический софт или онлайн графический калькулятор, так как графическое представление трудно описать словами.

На графике вы увидите, что функция проходит через точки экстремума в (2, -10) и (4, 2), а также имеет точку перегиба в (3, 3). График будет выпуклым на интервалах (2, 3) и (3, 4), и вогнутым на остальных участках.

Обратите внимание, что это приближенный график, абсолютно точное изображение возможно только с помощью точных математических инструментов.

Надеюсь, эти шаги помогут вам исследовать функцию и построить её график!