Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=2-x2; y=0; x=-1; x=0

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, нужно сначала определить, какие области она охватывает на графике.

Уравнение y = 2 - x^2 представляет собой параболу, которая открывается вниз. Уравнение y = 0 представляет собой ось x. Уравнения x = -1 и x = 0 представляют вертикальные линии.

1. Начнем с графика уравнения y = 2 - x^2:

Находим вершины параболы, приравнивая производную к нулю:

dy/dx = -2x

-2x = 0

x = 0

Значит, вершина параболы находится в точке (0, 2).

Парабола симметрична относительно вертикальной линии, проходящей через вершину. Таким образом, другая точка на параболе будет (-1, 2).

Построим график параболы:

luaCopy code
   3 |       *
     |      / \
   2 |     /   \
     |    /     \
   1 |   /       \
     |  /         \
   0 | / * * * * * *
     | / -1 0 1 2
  -1 +-------------

2. Теперь добавим линию y = 0 (ось x):

luaCopy code
   3 |       *
     |      / \
   2 |     /   \
     |    /     \
   1 |   /       \
     |  /         \
   0 | / * * * * * *
     | / -1 0 1 2
  -1 +-------------

3. Наконец, добавим вертикальные линии x = -1 и x = 0:

luaCopy code
   3 |       *
     |      /|\
   2 |     / | \
     |    /  |  \
   1 |   /   |   \
     |  /    |    \
   0 |/ * * *|* * *\
     | / -1  0| 1  2
  -1 +-------------

Теперь у нас есть область, ограниченная этими линиями. Чтобы найти площадь этой фигуры, нужно вычислить интеграл параболы между точками -1 и 0, а затем вычесть площадь треугольника.

Площадь параболы между -1 и 0:

∫[x=-1 to x=0] (2 - x^2) dx = [2x - (x^3)/3] from -1 to 0

= [2(0) - (0^3)/3] - [2(-1) - ((-1)^3)/3]

= 0 - (2 + 1/3)

= -7/3

Теперь найдем площадь треугольника с вершинами в точках (-1, 0), (0, 0) и (0, 2):

Площадь треугольника = (1/2) * base * height

= (1/2) * (0 - (-1)) * (2 - 0)

= (1/2) * 1 * 2

= 1

Теперь вычтем площадь треугольника из площади параболы:

Площадь фигуры = |(-7/3)| - 1 = 7/3 - 1 = 4/3 или около 1.333.

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2 - x^2, y = 0, x = -1 и x = 0, составляет около 1.333 квадратных единиц.