Question

Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями у=2х + х² і у=4+х

Answer 1

Даны функции у=2х + х² и у=4+х.

Находим границы их совместной площади.

2х + х² = 4 + х.

х² + х - 4 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x:

Ищем дискриминант:

D=1^2-4*1*(-4)=1-4*(-4)=1-(-4*4)=1-(-16)=1+16=17;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1 = (√17-1)/(2*1) = (√17-1)/2 ≈ 1.561553;

x_2 = (-√17-1)/(2*1) = (-√17-1)/2 ≈ -2.561553.

Площадь фигуры равна интегралу разности функций в полученных пределах.

$S=\int\limits^{\sqrt{17-1}*0.5}_{-\sqrt{17-1}*0.5} {(x+4)-(x^2+2x)} \, dx =\frac{17\sqrt{17}}{6}$ ≈ 11,6821 кв.ед.

Answer 2

Для знаходження площі фігури, обмеженої двома заданими лініями, спочатку знайдемо точки їх перетину. Ці точки будуть визначати межі фігури.

Задамо обидві рівняння у рівні між собою:

2х + х² = 4 + х

Тепер перенесемо все у ліву сторону:

x² + х - 4 = 0

Тепер маємо квадратне рівняння, яке можна розв'язати за допомогою квадратного кореня. Діскримінант (D) для цього рівняння буде:

D = b² - 4ac

де a = 1, b = 1, c = -4.

D = 1² - 4 * 1 * (-4) = 1 + 16 = 17

Тепер знайдемо значення х за допомогою формули квадратного кореня:

x = (-b ± √D) / 2a

x₁ = (-1 + √17) / 2 ≈ 1.56155 x₂ = (-1 - √17) / 2 ≈ -2.56155

Таким чином, отримали дві точки перетину: (1.56155, 5.12311) та (-2.56155, 0.93844).

Тепер для знаходження площі фігури, обмеженої цими двома лініями, можемо взяти визначені границі (x₁ та x₂) та обчислити інтеграл площі між цими двома кривими. Оскільки одна з кривих знаходиться поверх іншої, нам потрібно обчислити різницю площі.

Площа фігури (S) буде:

S = ∫[a, b] (f₁(x) - f₂(x)) dx

де f₁(x) = 2x + x² (верхня крива), f₂(x) = 4 + x (нижня крива), a = -2.56155, b = 1.56155.

Тепер знайдемо відповідь:

S = ∫[-2.56155, 1.56155] ((2x + x²) - (4 + x)) dx

S = ∫[-2.56155, 1.56155] (x² + x - 4) dx

Для обчислення цього інтеграла візьмемо антипохідну від функції x² + x - 4:

∫ (x² + x - 4) dx = (1/3)x³ + (1/2)x² - 4x

Тепер обчислимо вираз в межах від -2.56155 до 1.56155:

S = [(1/3)(1.56155)³ + (1/2)(1.56155)² - 4(1.56155)] - [(1/3)(-2.56155)³ + (1/2)(-2.56155)² - 4(-2.56155)]

S ≈ 8.42502 - 9.54315 ≈ -1.11813

Отже, площа фігури, обмеженої лініями у = 2x + x² і у = 4 + x, приблизно дорівнює -1.11813 квадратних одиниць. Від'ємне значення може бути, наприклад, внаслідок того, що нижня крива (у = 4 + х) знаходиться над верхньою кривою (у = 2х + х²) в деяких інтервалах.