Question

Помогите вспомнить алгебру. lg x + lg (x-3) > 1

Answer 1

ОДЗ: x>0            x>0
         x-3>0         x>3

Значит, x>3

lg x + lg (x-3) > 1
lg [x *(x-3)] > lg10
x *(x-3)>10
x²-3x-10>0
(x-5)(x+2)>0
x∈(-∞;-2)∪(5;+∞)

Наложив на решение ОДЗ получаем: х∈(5+∞)

Ответ: (5;+∞)

Answer 2

ОДЗ:x ∈ (3;+∞)
lg(x(x-3))>lg10
т.к. основание больше 1, знак неравенства не меняется
x²-3x>10
x²-3x-10>0
(x-5)(x+2)>0
x∈(-∞;-2)и(5;+∞)
Согласуем с одз: x ∈ (5;+∞)

Answer 3

Для решения неравенства lg x + lg (x-3) > 1, где lg обозначает логарифм по основанию 10, следует использовать свойства логарифмов.

Сначала объединим логарифмы с помощью свойства логарифма произведения:

lg(x * (x-3)) > 1

Затем применим свойство логарифма:

x * (x-3) > 10

Теперь приведем неравенство к квадратному виду:

x^2 - 3x > 10

Полученное квадратное неравенство должно быть решено. Для этого перенесем все в левую часть:

x^2 - 3x - 10 > 0

Теперь попробуем решить это квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения x^2 - 3x - 10 = 0, которые затем помогут нам определить интервалы, на которых выполняется неравенство.

Факторизуем квадратное уравнение:

(x - 5)(x + 2) > 0

Теперь найдем значения x, для которых (x - 5)(x + 2) = 0. Получаем два корня: x = 5 и x = -2.

Теперь разобьем ось x на интервалы, используя найденные корни, и определим знак (x - 5)(x + 2) на каждом интервале:

1. Когда x < -2: Тестовая точка: x = -3 (-3 - 5)(-3 + 2) = (-8)(-1) = 8 > 0, знак положителен.

2. Когда -2 < x < 5: Тестовая точка: x = 0 (0 - 5)(0 + 2) = (-5)(2) = -10 < 0, знак отрицателен.

3. Когда x > 5: Тестовая точка: x = 6 (6 - 5)(6 + 2) = (1)(8) = 8 > 0, знак положителен.

Таким образом, неравенство (x - 5)(x + 2) > 0 выполняется на интервалах x < -2 и x > 5. Ответом на исходное неравенство будет объединение этих интервалов:

x < -2 или x > 5

Таким образом, решением исходного неравенства lg x + lg (x-3) > 1 является множество всех значений x, которые меньше -2 или больше 5.