Question

Решить уравнение: sin^4x +cos^4x=sin x *cos x. В ответе указать(в градусах) корень на промежутке [0;180]

Answer 1

$sin^4x+cos^4x=sinx\cdot cosx\\\\(sin^4x+cos^4x+2sin^2x\cdot cos^2x)-2sin^2x\cdot cos^2x=sinx\cdot cosx\\\\(sin^2x+\cos^2x)^2-2sin^2x\cdot cos^2x=sinx\cdot cosx\\\\1-2sin^2x\cdot cos^2x=sinx\cdot cosx\\\\2(sinx\cdot cosx)^2+(sinx\cdot cosx)-1=0\\\\t=sinx\cdot cosx\; ,\; \; 2t^2+t-1=0\; ,\; \; D=9\; ,\\\\t_1=\frac{-1-3}4}=-1\; ,\; \; t_2=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2}\\\\a)\; \; sinx\cdot cosx=-1\; \; \to \; \; \frac{1}{2}sin2x=-1\; ,\; \; sin2x=-2$

$c)\; \; x\in [\, 0^\circ ,180^\circ ]:\; \; \underline {x=45^\circ }$

Answer 2

sin∧4x + cos^4x + 2sin^2xcos^2x = sinxcosx + 2sin^2xcos^2x;

(sin∧2x + cos^2x)^2 = sinxcosx + 2sin^2xcos^2x;

1 = sinxcosx + 2sin^2xcos^2x; 2sin^2xcos^2x + sinxcosx - 1 = 0;

4sin^2xcos^2x + 2sinxcosx - 2 = 0; sin^2(2x) + sin(2x) - 2 = 0 - квадратное уравнение относительно sin(2x). По т. обратной к т. Виетта, имеем:

sin(2x) = -2 - не имеет решений

sin(2x) = 1; 2х = 90° + 360°n, n∈Z; x = 45° + 180°n, n∈Z. Промежутку [0;180] принадлежит только x = 45°. Ответ: x = 45°.

Answer 3

Для решения уравнения sin^4x + cos^4x = sin x * cos x на промежутке [0; 180] градусов, начнем с приведения уравнения к более удобному виду. Воспользуемся тригонометрическими тождествами:

1. sin^2x + cos^2x = 1 (тождество Пифагора для синуса и косинуса).
2. sin^2x = 1 - cos^2x (выразим sin^2x через cos^2x).

Теперь заменим sin^2x и cos^2x в исходном уравнении:

(sin^2x)^2 + (cos^2x)^2 = sin x * cos x

(1 - cos^2x)^2 + cos^4x = sin x * cos x

Теперь введем замену y = cos^2x:

(1 - y)^2 + y^2 = sin x * cos x

Раскроем скобки:

1 - 2y + y^2 + y^2 = sin x * cos x

2y^2 - 2y + 1 = sin x * cos x

Теперь у нас получилось квадратное уравнение, которое мы можем решить:

2y^2 - 2y + 1 - sin x * cos x = 0

Для нахождения корней квадратного уравнения воспользуемся дискриминантом:

D = b^2 - 4ac

где a = 2, b = -2 и c = 1 - sin x * cos x.

D = (-2)^2 - 4 * 2 * (1 - sin x * cos x) D = 4 - 8(1 - sin x * cos x) D = 4 - 8 + 8sin x * cos x D = 8sin x * cos x - 4

Теперь найдем корни уравнения, для этого приравняем D к нулю:

8sin x * cos x - 4 = 0

8sin x * cos x = 4

sin x * cos x = 1/2

Теперь нам нужно найти значения угла x, для которых sin x * cos x = 1/2 на промежутке [0; 180] градусов.

На этом промежутке есть два основных значения, когда sin x = 1/2 и cos x = 1/2:

1. sin x = 1/2 x = arcsin(1/2) ≈ 30°

2. cos x = 1/2 x = arccos(1/2) ≈ 60°

Таким образом, на промежутке [0; 180] градусов у уравнения sin^4x + cos^4x = sin x * cos x есть два корня: x ≈ 30° и x ≈ 60°.