Question

Решите уравнение- tgx+ 24ctg = 2

Answer 1

$-tgx+24\, ctgx=2\\\\-tgx+\frac{24}{tgx}-2=0\\\\\frac{-tg^2x-2\, tgx+24}{tgx}=0\; ,\; \; tgx\ne 0\; \; \to \; \; x\ne \pi n,\; n\in Z\\\\tg^2x+2\, tgx-24=0\\\\t=tgx\; ,\; \; t^2+2t-24=0\; ,\; \; D/4=1+24=25\; ,\; t_{1,2}=-1\pm 5\\\\t_1=-6\; ,\; \; t_2=4\\\\a)tgx=-6\; ,\; \; \underline {x=-arctg6+\pi n,\; n\in Z}\\\\b)\; \; tgx=4\; ,\; \; \underline {x=arctg4+\pi k,\; k\in Z}$

Answer 2

u = tgx

-u + 24/u = 2

u^2 + 2u - 24 = 0

(u - 4)(u + 6) = 0

tgx = u = {-6, 4}

x = {-arctg6 + Пk, arctg4 + Пk}

Answer 3

Для решения уравнения tgx + 24ctg(x) = 2, сначала преобразуем его в одну тригонометрическую функцию. Воспользуемся тождеством тангенса и котангенса:

tg(x) + 24ctg(x) = 2 tg(x) + 24/cot(x) = 2 tg(x) + 24tan(x) = 2

Теперь перенесем все члены в левую часть уравнения:

tg(x) + 24tan(x) - 2 = 0

Теперь у нас уравнение имеет вид:

tg(x) + 24tan(x) - 2 = 0

Для решения этого уравнения воспользуемся заменой:

z = tg(x)

Тогда уравнение примет вид:

z + 24z - 2 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение:

z^2 + 24z - 2 = 0

Для решения квадратного уравнения можно использовать квадратное уравнение:

z = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = 24 и c = -2.

Теперь подставим значения и найдем z:

z = (-(24) ± √(24^2 - 4 * 1 * (-2))) / 2 * 1 z = (-24 ± √(576 + 8)) / 2 z = (-24 ± √584) / 2 z = (-24 ± 24.166) / 2

Таким образом, получаем два значения для z:

z₁ = (-24 + 24.166) / 2 ≈ 0.083 z₂ = (-24 - 24.166) / 2 ≈ -24.083

Теперь найдем соответствующие значения x, используя обратные функции:

x₁ = arctan(z₁) ≈ arctan(0.083) ≈ 4.747 градусов + k180°, где k - целое число x₂ = arctan(z₂) ≈ arctan(-24.083) ≈ -88.827 градусов + k180°, где k - целое число

Заметим, что тангенс периодична с периодом 180°, поэтому добавляем целое число умноженное на 180°, чтобы учесть все возможные значения.

Таким образом, решение уравнения tg(x) + 24ctg(x) = 2 имеет вид:

x ≈ 4.747° + k180° и x ≈ -88.827° + k180°, где k - целое число.