Question

11 в степени(2n+1) +3×9 в степени(n) Докажите что при любых n принадлежит N кратно 7

Answer 1

${11}^{2n + 1} + 3 \times {9}^{n} = \\ = {11}^{2n + 1} + {3}^{1} \times {3}^{2n} = \\ {11}^{2n + 1} + {3}^{2n + 1} = \\ = (11 + 3)( {11}^{2n} - {11}^{2n - 1} 3 + \\ + {11}^{2n - 2} {3}^{2} - \\ - ... - 11 \times {3}^{2n - 1} + {3}^{2n} ) = \\ = 2 \times 7 \times ( {11}^{2n} - {11}^{2n - 1} 3 + \\ + {11}^{2n - 2} {3}^{2} - \\ - ... - 11 \times {3}^{2n - 1} + {3}^{2n} )$
Так как один из множителей 7, то это число делится на 7 при n€Z

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции. Мы хотим доказать, что для любого целого числа n выполняется условие:

$11^{2n+1} + 3 \times 9^n$ кратно 7.

Шаг 1: Проверим базовый случай для n = 0: Когда n = 0, получаем $11^{2 \times 0 + 1} + 3 \times 9^0 = 11^1 + 3 \times 1 = 11 + 3 = 14$.

14 не является кратным 7, так как 14 = 7 × 2. Таким образом, базовый случай не выполняется.

Шаг 2: Предположение индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого произвольного целого числа k, т.е.

$11^{2k+1} + 3 \times 9^k$ кратно 7.

Шаг 3: Докажем, что утверждение верно для $n = k + 1$: Теперь докажем, что утверждение верно для $n = k + 1$ с использованием предположения индукции:

$11^{2(k+1)+1} + 3 \times 9^{k+1} = 11^{2k+3} + 3 \times 9^k \times 9 = 11^2 \times 11^{2k+1} + 3 \times 9 \times 9^k$.

Заметим, что $11^2 = 121$ и $9 = 3 \times 3$. Подставим это в выражение:

$11^2 \times 11^{2k+1} + 3 \times 9 \times 9^k = 121 \times (11^{2k+1}) + 3 \times (3 \times 3) \times 9^k$.

Теперь разделим каждое слагаемое на 7 и посмотрим на остаток:

$121 \times (11^{2k+1}) + 3 \times (3 \times 3) \times 9^k \equiv 4 \times (11^{2k+1}) + 3 \times 3 \times 9^k \mod 7$.

Теперь воспользуемся предположением индукции: $11^{2k+1} + 3 \times 9^k$ кратно 7. Обозначим это число за M:

$4 \times (11^{2k+1}) + 3 \times 3 \times 9^k \equiv 4M + 3 \times 3 \times 9^k \mod 7$.

Так как $M$ кратно 7, то $4M$ также кратно 7. Остается проверить, кратно ли $3 \times 3 \times 9^k$ семи. Разложим на множители: $3 \times 3 \times 9^k = 3^2 \times 3^{2k} = 3^{2k+2}$.

Таким образом, $3 \times 3 \times 9^k$ имеет вид $3^{2k+2}$, и это число кратно 7, так как $2k+2 \geq 2$, а все степени 3, начиная с 3^2, делятся на 7 (например, 3^2 = 9, 3^7 = 2187, 3^14 = 4782969 и т.д.).

Таким образом, $4 \times (11^{2k+1}) + 3 \times 3 \times 9^k$ также кратно 7, что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что для любого целого числа $n$, $11^{2n+1} + 3 \times 9^n$ кратно 7.