Question

Решите уравнение 3ctgx+2=2tg(x-П/4)

Answer 1

$3\, ctgx+2=2\, tg(x-\frac{\pi }{4})\\\\3\cdot \frac{1}{tgx}+2=2\cdot \frac{tgx-tg\frac{\pi}{4}}{1+tgx\cdot tg\frac{\pi}{4}}\; \; ,\; \; tg\frac{\pi}{4}=1\\\\\frac{3}{tgx}+2=2\cdot \frac{tgx-1}{1+tgx}\\\\\frac{3+2tgx}{tgx}=\frac{2tgx-2}{1+tgx}\; \; ,\; \; tgx\ne 0\; ,\; \; tgx\ne -1\\\\(3+2tgx)(1+tgx)=tgx\, (2tgx-2)\\\\3+5\, tgx+2\, tg^2x=2\, tg^2x-2\, tgx\\\\7\, tgx=-3\\\\tgx=-\frac{3}{7}\\\\x=-arctg\frac{3}{7}+\pi n\; ,\; \; n\in Z$

Answer 2

Для решения данного уравнения необходимо привести его к виду, который позволит найти значение переменной x. Воспользуемся тригонометрическими тождествами для тангенсов:

1. tg(a ± b) = (tg(a) ± tg(b)) / (1 ∓ tg(a) * tg(b))
2. ctg(a) = 1 / tg(a)

Теперь давайте преобразуем уравнение:

3ctg(x) + 2 = 2tg(x - π/4)

Для начала заменим ctg(x) на 1/tg(x):

3 * (1 / tg(x)) + 2 = 2tg(x - π/4)

Умножим обе части уравнения на tg(x), чтобы избавиться от знаменателя:

3 + 2tg(x) * tg(x) = 2tg(x - π/4) * tg(x)

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством tg(a) * tg(b) = (tg(a + b) - tg(a - b)) / (1 + tg(a + b) * tg(a - b)):

3 + (2tg(x + x) - 2tg(x - x)) / (1 + 2tg(x + x) * 2tg(x - x)) = 2tg(x - π/4) * tg(x)

Упростим числитель:

3 + (2tg(2x) - 2 * 0) / (1 + 2tg(2x) * 0) = 2tg(x - π/4) * tg(x)

3 + 2tg(2x) / 1 = 2tg(x - π/4) * tg(x)

Теперь заменим tg(2x) на 2tg(x) / (1 - tg^2(x)):

3 + 2 * (2tg(x) / (1 - tg^2(x))) / 1 = 2tg(x - π/4) * tg(x)

Упростим выражение:

3 + 4tg(x) / (1 - tg^2(x)) = 2tg(x - π/4) * tg(x)

Теперь заменим tg(x - π/4) на (tg(x) - tg(π/4)) / (1 + tg(x) * tg(π/4)):

3 + 4tg(x) / (1 - tg^2(x)) = 2 * ((tg(x) - 1) / (1 + tg(x))) * tg(x)

Приведем числитель во второй части к общему знаменателю:

3 + 4tg(x) / (1 - tg^2(x)) = (2tg(x) - 2) * tg(x) / (1 + tg(x))

Умножим обе части уравнения на (1 - tg^2(x)) * (1 + tg(x)), чтобы избавиться от знаменателей:

(3 + 4tg(x)) * (1 + tg(x)) = (2tg(x) - 2) * tg(x) * (1 - tg^2(x))

Раскроем скобки:

3 + 3tg(x) + 4tg^2(x) + 4tg(x) * tg^2(x) = 2tg(x) - 2 - 2tg^3(x) + 2tg(x) * tg^2(x)

Теперь приведем подобные члены:

4tg^2(x) + 4tg(x) * tg^2(x) + 2tg^3(x) + 3tg(x) + 2 = 0

Уравнение стало кубическим относительно tg(x). Решить его в общем виде достаточно сложно. Для нахождения приближенных численных значений tg(x) можно воспользоваться численными методами, такими как метод Ньютона или метод половинного деления.

Однако, без конкретных численных значений или дополнительных условий задачи, ответ в аналитическом виде оставляется в такой форме, как указано выше.