Question

Докажите правильность. 1) (a+b)³=a(a-3b)²+b(b-3a)² 2)(a³+b³)²-(a²+b²)³+3a²b²(a+b)²=(2ab)³Зарание спасибо.

Answer 1

1)
$(a + b)^{3} = {a}^{3} + 3 {a}^{2} b + 3a {b}^{2} + {b}^{3}$
$a {(a - 3b)}^{2} +b {(b - 3a)}^{2} = a( {a}^{2} - 6ab + 9 {b}^{2} ) +b( {b}^{2} - 6ab + 9 {a}^{2} ) = {a}^{3} - 6 {a}^{2} b + 9a {b}^{2} + {b}^{3} - 6a {b}^{2} + 9 {a}^{2} b = {a}^{3} + 3 {a}^{2} b + 3a {b}^{2} + {b}^{3}$
ч.т.д.

2)
$( {a}^{3} + {b}^{3} )^{2} - ( {a}^{2} + {b}^{2} )^{3} + 3 {a}^{2} {b}^{2} (a + b)^{2} = {a}^{6} + 2 {a}^{3} {b}^{3} + {b}^{6} - {a}^{6} - 3 {a}^{4} {b}^{2} - 3 {a}^{2} {b}^{4} - {b}^{6} + 3 {a}^{4} {b}^{2} + 6 {a}^{3} {b}^{3} + 3 {a}^{2} {b}^{4} = 8 {a}^{3} {b}^{3} = (2ab)^{3}$
ч.т.д.

Answer 2

Для начала, давайте докажем каждое утверждение по очереди.

1. Докажем равенство (a+b)³ = a(a-3b)² + b(b-3a)²:

Начнем с раскрытия левой стороны равенства: (a + b)³ = (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Теперь раскроем правую сторону равенства: a(a - 3b)² + b(b - 3a)² = a(a² - 6ab + 9b²) + b(b² - 6ab + 9a²) = a³ - 6a²b + 9ab² + b³ - 6ab² + 9a²b = a³ + b³ + 3a²b + 3ab² - 6a²b - 6ab² + 9ab² + 9a²b = a³ + b³ + 3a²b + 3ab²

Мы видим, что левая сторона равна правой стороне, так как все слагаемые сокращаются, и мы получаем: (a + b)³ = a(a - 3b)² + b(b - 3a)²

Таким образом, равенство доказано.

2. Теперь докажем равенство (a³ + b³)² - (a² + b²)³ + 3a²b²(a + b)² = (2ab)³:

Начнем с раскрытия левой стороны равенства: (a³ + b³)² - (a² + b²)³ + 3a²b²(a + b)² = (a³ + b³)(a³ + b³) - (a² + b²)(a² + b²)(a² + b²) + 3a²b²(a + b)² = (a⁶ + 2a³b³ + b⁶) - (a⁶ + 3a⁴b² + 3a²b⁴ + b⁶) + 3a²b²(a² + 2ab + b²) = a⁶ + 2a³b³ + b⁶ - a⁶ - 3a⁴b² - 3a²b⁴ - b⁶ + 3a⁴b² + 6a³b³ + 3a²b⁴ = 2a³b³ + 6a³b³ = 8a³b³ = (2ab)³

Мы видим, что левая сторона равна правой стороне, так как все слагаемые сокращаются, и мы получаем: (a³ + b³)² - (a² + b²)³ + 3a²b²(a + b)² = (2ab)³

Таким образом, равенство доказано.

Оба утверждения были доказаны, что завершает доказательство.