Question

Учащиеся средней школы решали тест и каждый из учеников за него мог получить какое-то положительное число баллов. Для того, чтобы сдать тест, нужно было набрать не менее 50 баллов. Для улучшения результатов тестирования, каждому участнику добавили по 5 баллов, поэтому количество сдавших его увеличилось. Подумайте и решите: в) Пусть первоначально средний балл учеников, сдавших тест, составил 60 баллов, не сдавших – 40 баллов, а общий средний балл составил 50 баллов. После добавления баллов средний балл сдавших учеников стал равен 63 баллам, а не сдавших – 43. Определите наименьшее число участников, при котором возможна такая ситуация?

Answer 1

x - количество учеников сдавших тест

y - количество не сдавших

S1- сумма баллов сдавших

S2-сумма баллов несдавших

Тогда

S1=60x

S2=40y

(S1+S2)/(x+y)=(60x+40y)/(x+y)=50

Откуда x=y

Положим что z ученикам не хватило 5 баллов в промежутке чтобы сдать тест, с общей суммой баллов S3, тогда

(65x+S3+5z)/(x+z)=63

(40y-S3+(y-z)*5)/(y-z)=43

Так как x=y и z<x

2x+38z=58z-2x

x=5z

Значит наименьшее при z=1 , откуда x=5, значит всего учеников 10.

Сдавших 5 и не сдавших 5

Ответ 10

Answer 2

Давайте обозначим:

• Количество учеников, сдавших тест, до добавления баллов: x.
• Количество учеников, не сдавших тест, до добавления баллов: y.

Мы знаем, что средний балл среди сдавших тест и не сдавших тест составляет 60 и 40 баллов соответственно. Также общий средний балл составляет 50 баллов. Это позволяет нам составить следующие уравнения:

1. Средний балл среди сдавших тест: (сумма баллов сдавших тест) / (количество сдавших тест) = 60

Сумма баллов сдавших тест = 60 * x

2. Средний балл среди не сдавших тест: (сумма баллов не сдавших тест) / (количество не сдавших тест) = 40

Сумма баллов не сдавших тест = 40 * y

3. Общий средний балл: (сумма баллов всех учеников) / (общее количество учеников) = 50

Сумма баллов всех учеников = 50 * (x + y)

После добавления 5 баллов каждому ученику:

4. Новый средний балл среди сдавших тест: (сумма баллов сдавших тест + 5 * x) / (количество сдавших тест) = 63

Сумма баллов сдавших тест + 5 * x = 63 * x

5. Новый средний балл среди не сдавших тест: (сумма баллов не сдавших тест + 5 * y) / (количество не сдавших тест) = 43

Сумма баллов не сдавших тест + 5 * y = 43 * y

Теперь у нас есть система уравнений из 5 уравнений с 5 неизвестными (x, y, сумма баллов сдавших тест, сумма баллов не сдавших тест, общее количество учеников). Мы можем решить эту систему, чтобы найти наименьшее возможное число участников (x + y), при котором эти условия выполняются. Однако, вручную решать эту систему довольно трудоемко.

Для нахождения наименьшего числа участников можно воспользоваться математическим инструментом - квадратичным уравнением. Нам необходимо решить следующее квадратичное уравнение:

63 * x - 60 * x = 5 * x = 63 * y - 43 * y = 20 * y

Таким образом, для минимального числа участников, для которого возможна такая ситуация, нужно, чтобы 5 * x равнялось 20 * y.

Наименьшие значения x и y, при которых это условие выполняется, это x = 4 и y = 1.

Следовательно, минимальное число участников, при котором возможна такая ситуация, равно x + y = 4 + 1 = 5.