Question

Доказать (x+y)(x+y+2cosx)+2 >= 2sin^2x пожалуйста помогите

Answer 1

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Давайте посмотрим, как доказать данное неравенство:

Выражение для доказательства:

(x + y)(x + y + 2cos(x)) + 2 >= 2sin^2(x)

1. Раскроем скобки слева:

(x + y)(x + y + 2cos(x)) = x^2 + xy + xy + y^2 + 2xcos(x) + 2ycos(x) = x^2 + 2xy + y^2 + 2(x + y)cos(x)

Теперь подставим обратно в неравенство:

x^2 + 2xy + y^2 + 2(x + y)cos(x) + 2 >= 2sin^2(x)

2. Перенесем все в одну сторону, чтобы получить ноль справа:

x^2 + 2xy + y^2 + 2(x + y)cos(x) + 2 - 2sin^2(x) >= 0

3. Преобразуем некоторые члены, используя тригонометрические тождества:

sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Теперь подставим это обратно:

x^2 + 2xy + y^2 + 2(x + y)cos(x) + 2 - 2(1 - cos^2(x)) >= 0

4. Упростим:

x^2 + 2xy + y^2 + 2(x + y)cos(x) + 2 - 2 + 2cos^2(x) >= 0

x^2 + 2xy + y^2 + 2(x + y)cos(x) + 2cos^2(x) >= 0

5. Заметим, что выражение слева является квадратным трехчленом (по x) с дискриминантом D:

D = (2y + 2cos(x))^2 - 4(1)(y^2 + 2cos^2(x))

D = 4y^2 + 8y*cos(x) + 4cos^2(x) - 4y^2 - 8cos^2(x)

D = 8y*cos(x)

Таким образом, D всегда положительно, поскольку умножение положительного числа на косинус не изменит его знак. Это означает, что наше квадратное выражение всегда неотрицательно.

6. Таким образом, неравенство выполняется для любых значений x и y, и оно доказано.

Итак, мы доказали, что (x + y)(x + y + 2cos(x)) + 2 >= 2sin^2(x) для любых действительных чисел x и y.