Question

Укажите область значений функции: y = - (x + 1)² + √2

Answer 1

Графиком квадратичной функции является парабола. Так как а = -1 <0 то ветви параболы направлены вниз, следовательно, точка вершины параболы достигает своего наибольшего значения.

Вершина параболы: (-1;√2). Тогда область значений функции: E(y)=(-∞;√2].

Ответ: $\tt E(y)=(-\infty;\sqrt{2}].$

Answer 2

Для определения области значений функции необходимо рассмотреть, какие значения может принимать функция y при изменении значения x.

Функция y = - (x + 1)² + √2 состоит из двух компонентов: первая часть -(x + 1)² отвечает за параболу с вершиной в точке (-1, 0), которая направлена вниз, а вторая часть √2 добавляет к этой параболе постоянное значение величины √2.

Для параболы -(x + 1)² с вершиной в (-1, 0) максимальное значение y будет равно 0, так как парабола направлена вниз и не имеет максимального значения. Однако, с учетом добавления √2 к этой параболе, она сдвигается вверх на √2.

Таким образом, минимальное значение y будет равно √2 (когда парабола достигает своего максимума в -∞), и оно будет единственным значением в области значений функции.

Таким образом, область значений функции y = - (x + 1)² + √2: {y | y ≥ √2}.