Question

X^ 2 − 4 |x| − a + 3 = 0,найти сумму всех корней если a ≥ 3

Answer 1

Если x-корень , то и ( -x ) также корень , поэтому каждому ненулевому корню соответствует противоположный к нему , а сумма всех корней равна нулю ( даже если есть нулевой корень ,то он эту сумму не изменит) , условие а≥3 гарантирует существование корней ,|x|=y ; уравнение y²-4y+3-a =0 всегда имеет неотрицательное решение (D>0 и y₁+y₂>0)

Answer 2

To find the sum of all roots of the equation $x^2 - 4 |x| - a + 3 = 0$ when $a \geq 3$, we first need to determine the roots of the equation.

Let's consider two cases:

Case 1: $x \geq 0$ In this case, $|x| = x$, and the equation becomes $x^2 - 4x - a + 3 = 0$.

Case 2: $x < 0$ In this case, $|x| = -x$, and the equation becomes $x^2 + 4x - a + 3 = 0$.

Now, let's solve each case:

Case 1: $x^2 - 4x - a + 3 = 0$ Using the quadratic formula, $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, where $ax^2 + bx + c = 0$, we have $a = 1$, $b = -4$, and $c = -a + 3$.

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a + 3)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4a - 12}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4a + 4}}{2}$

$x = 2 \pm \sqrt{a + 1}$

Case 2: $x^2 + 4x - a + 3 = 0$ Using the same quadratic formula with $a = 1$, $b = 4$, and $c = -a + 3$, we get:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4 + 4a - 12}}{2}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4a - 8}}{2}$

$x = -2 \pm \sqrt{a - 2}$

Now we have two sets of roots, depending on whether $x$ is positive or negative:

For Case 1: $x = 2 \pm \sqrt{a + 1}$ For Case 2: $x = -2 \pm \sqrt{a - 2}$

Since we are looking for the sum of all roots, we need to add up all four values:

Sum of roots = $(2 + \sqrt{a + 1}) + (2 - \sqrt{a + 1}) + (-2 + \sqrt{a - 2}) + (-2 - \sqrt{a - 2})$

Notice that the $\sqrt{a + 1}$ and $\sqrt{a - 2}$