Question

Пожалуйста, помогите решить неравенство с параметром:x^2-(2a+1)x+a^2+a ≤ 0

Answer 1

D = (2a + 1)² - 4(a² + a) = 4a² + 4a + 1 - 4a² - 4a = 1

[ x₁ = (2a + 2)/2 = a + 1
[ x₂ = 2a / 2 = a

В любом случае, x₁ > x₂

__+__\x₂___-____x₁/__+__

x∈[a ; a + 1]

Answer 2

Для решения данного неравенства с параметром a, мы должны определить интервалы значений a, для которых неравенство выполняется. Для этого следует выполнить несколько шагов:

1. Записать неравенство: x^2 - (2a + 1)x + a^2 + a ≤ 0

2. Разложить левую часть неравенства на квадратные трехчлены: x^2 - (2a + 1)x + a^2 + a = (x - m)(x - n), где m и n - корни квадратного трехчлена.

3. Найти корни m и n: m = (-(-2a - 1) + √((-2a - 1)^2 - 4(a^2 + a))) / 2 n = (-(-2a - 1) - √((-2a - 1)^2 - 4(a^2 + a))) / 2

4. Определить интервалы a, при которых неравенство выполнено. Это происходит в двух случаях:

   а) Когда оба корня m и n лежат слева или справа от точки х = 0 (или, другими словами, оба корня отрицательные или оба положительные). Это происходит, когда дискриминант D = ((-2a - 1)^2 - 4(a^2 + a)) ≥ 0.

   б) Когда один из корней между 0 и другой корень меньше 0 (положительный и отрицательный корни). Это происходит, когда дискриминант D < 0.

Теперь давайте решим неравенство:

1. Найдем дискриминант D: D = ((-2a - 1)^2 - 4(a^2 + a)) D = (4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 - 4a) D = (1 - 4a)

2. Рассмотрим первый случай: D ≥ 0 1 - 4a ≥ 0 4a ≤ 1 a ≤ 1/4

3. Рассмотрим второй случай: D < 0 1 - 4a < 0 4a > 1 a > 1/4

Таким образом, неравенство выполняется при значениях a из интервала: a ≤ 1/4 или a > 1/4

Окончательное решение: a ∈ (-∞, 1/4] или a ∈ (1/4, +∞)