Question

Решите тригонометрическое уравнение: 1) cos2x+2sin2x+2=0 2) 2cos2x+2sin^2x=5+4sin2x 3) 2sin2x=3-2sin^2x

Answer 1

1) cos2x+2sin2x+2=0

(1 - tg²x)/(1 + tg²x) + 2*2tgx/(1 + tg²x) +2 = 0 | * (1 + tg²x )≠ 0

1 - tg²x + 4tgx +2(1 +tg²x) = 0

1 - tg²x + 4tgx +2 +2tg²x = 0

tg²x +4tgx +3 = 0

По т. Виета корни -1 и -3

а) tgx = -1 б) tgx = -3

x = -π/4 + πk, k ∈Z x = -arctg 3 + πn , n ∈Z

2) 2cos2x+2sin²x=5+4sin2x

2(Cos²x - Sin²x) +2Sin²x = 5 +8SinxCosx

2Cos²x - 2Sin²x +2Sin²x = 5*1 +8SinxCosx

2Cos²x = 5*(Sin²x + Cos²x) + 10SinxCosx

2Cos²x = 5Sin²x + 5Cos²x +8SinxCosx

5Sin²x +3Cos²x +8sinxCosx = 0 |: Cos²x

5tg²x + 8tgx +3 = 0

tgx = t

5t² +8t +3 = 0

t = (-4 +-√(16 -15))/5 = (-5 +-1)/5

t₁ = -6/5= -1.2 t₂ = -4/5= -0,8

tgx =- 1,2 tgx = -0,8

x = -arctg1,2+ πk , k ∈ Z x = -arctg0,8 + πn , n ∈Z

3) 2sin2x=3-2sin²x

6SinxCosx = 3Sin²x + 3Cos²x -2Sin²x

6SinxCosx = Sin²x + 3Cos²x | : Cos²x

6tgx = tg²x +3

tgx = t

t² -6t +3 = 0

t =3+-√(9 -3)

t₁ = 3 +√6 t₂ = 3 - √6

tgx = 3 +√6 tgx = 3 - √6

x = arctg(3 + √6) + πk , k ∈Z x = arctg(3 - √6) + πn , n ∈ Z

Answer 2

Давайте решим каждое из данных тригонометрических уравнений:

1. Уравнение: cos(2x) + 2sin(2x) + 2 = 0

Для начала, воспользуемся тригонометрическими тождествами:

cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)

Теперь подставим это в уравнение:

1 - 2sin^2(x) + 2sin(2x) + 2 = 0

Далее, заменим sin(2x) через удвоенный угол:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Подставим:

1 - 2sin^2(x) + 4sin(x)cos(x) + 2 = 0

Теперь сгруппируем элементы:

-2sin^2(x) + 4sin(x)cos(x) + 3 = 0

Теперь давайте попробуем разделить все на 2:

-sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) + 3/2 = 0

Теперь заметим, что это уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно sin(x). Пусть sin(x) = t:

-t^2 + 2t + 3/2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

t^2 - 2t - 3/2 = 0

(t - 3/2)(t + 1) = 0

Таким образом, получаем два значения t:

1. t - 3/2 = 0 => t = 3/2
2. t + 1 = 0 => t = -1

Теперь вернемся к sin(x):

1. sin(x) = 3/2
2. sin(x) = -1

Однако sin(x) не может быть больше 1 или меньше -1, поэтому уравнение не имеет решений.

2. Уравнение: 2cos(2x) + 2sin^2(x) = 5 + 4sin(2x)

Для начала, воспользуемся тригонометрическими тождествами:

cos(2x) = 1 - 2sin^2(x) sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь подставим их в уравнение:

2(1 - 2sin^2(x)) + 2sin^2(x) = 5 + 4(2sin(x)cos(x))

Упростим:

2 - 4sin^2(x) + 2sin^2(x) = 5 + 8sin(x)cos(x)

-2sin^2(x) + 5 = 5 + 8sin(x)cos(x)

Теперь выразим 8sin(x)cos(x) через sin(2x):

8sin(x)cos(x) = 4sin(2x)

Подставим это обратно в уравнение:

-2sin^2(x) + 5 = 5 + 4sin(2x)

Теперь уберем из обоих частей уравнения 5:

-2sin^2(x) = 4sin(2x)

Используем тригонометрическое тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x):

-2sin^2(x) = 4 * 2sin(x)cos(x)

-2sin^2(x) = 8sin(x)cos(x)

Теперь у нас есть два варианта:

1. sin(x) = 0

2. sin(x) ≠ 0

3. Если sin(x) = 0, то x может принимать значения 0, π, 2π, 3π и т.д.

4. Если sin(x) ≠ 0, то можно разделить обе части уравнения на sin(x):

-2sin(x) = 8cos(x)

Теперь разделим обе части на cos(x):

-2tan(x) = 8

tan(x) = -4

Здесь нет точных значений для x, так как тангенс - это периодическая функция, но можно найти приближенные значения:

x ≈ -1.325 + πn и x ≈ 1.817 + πn, где n - это целое число.

3. Уравнение: 2sin(2x) = 3 - 2sin^2(x)

Для начала, воспользуемся тригонометрическими тождествами:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь подставим это в уравнение:

2(2sin(x)cos(x)) = 3 - 2sin^2(x)

Упростим:

4sin(x)cos(x) = 3 - 2sin^2(x)

Теперь выразим 4sin(x)cos(x) через sin(2x):

4sin(x)cos(x) = 2sin(2x)

Подставим это обратно в уравнение:

2sin(2x) = 3 - 2sin^2(x)

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной sin(2x). Пусть sin(2x) = t:

2t = 3 - 2sin^2(x)

2t = 3 - 2(2t)^2

2t = 3 - 8t^2

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

8t^2 + 2t - 3 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

Используем квадратную формулу: t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

a = 8, b = 2, c = -3

t = (-2 ± √(2^2 - 4 * 8 * -3)) / 2 * 8

t = (-2 ± √(4 + 96)) / 16

t = (-