Question

Докажыте неравенство 2a^2-8a+16>0;

Answer 1

$2 {a}^{2} - 8a + 16 > 0 \\ 2 {a}^{2} - 8a + 8 + 8 > 0 \\ 2( {a}^{2} - 4a + 4) + 8 > 0 \\ 2 {(a - 2)}^{2} + 8 > 0$
Квадрат числа всегда > 0, 8 тоже > 0, значит, всё выражение > 0, что и требовалось доказать.

Answer 2

$2a^2-8a+16=2a^2-8a+8+8=2(a^2-4a+4)+8=\\ \\ =2(a^2-2\cdot a\cdot 2+2^2)+8=2(a-2)^2+8\\ \\ \\ (a-2)^2\geq 0\\ 2(a-2)^2\geq 2\cdot0\\ 2(a-2)^2\geq 0\\2(a-2)^2+8\geq 0+8 \\2(a-2)^2+8\geq 8$

Так как $2(a-2)^2+8\geq 8$, то $2a^2-8a+16\geq 8$, а значит, $2a^2-8a+16>0$

Answer 3

Для доказательства неравенства $2a^2 - 8a + 16 > 0$, вам нужно использовать методы алгебры и анализа. Давайте начнем:

1. Найдите вершину параболы: Для квадратичной функции вида $f(a) = a^2 + bx + c$, вершина имеет координаты $(h, k)$, где $h = -\frac{b}{2a}$ и $k = f(h)$. В нашем случае, $a = 2$, $b = -8$ и $c = 16$: $h = -\frac{(-8)}{2(2)} = 2$ $k = 2(2)^2 - 8(2) + 16 = 8$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, 8)$.

2. Определите направление ветвей параболы: Так как коэффициент при $a^2$ положительный ($2 > 0$), парабола открывается вверх.

3. Определите, где парабола находится над осью $x$: Поскольку вершина параболы находится в точке $(2, 8)$ и парабола открывается вверх, она находится над осью $x$ в интервале между корнями уравнения $2a^2 - 8a + 16 = 0$.

4. Найдите корни уравнения: Чтобы найти корни уравнения $2a^2 - 8a + 16 = 0$, решим его с помощью квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$: $a = 2, \quad b = -8, \quad c = 16$ $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(2)(16) = 64 - 128 = -64$

Так как дискриминант ($D$) отрицательный, уравнение имеет два комплексных корня: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{-64}}{4} = \frac{8 + 8i}{4} = 2 + 2i$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{-64}}{4} = \frac{8 - 8i}{4} = 2 - 2i$

5. Вывод: Таким образом, уравнение $2a^2 - 8a + 16 = 0$ не имеет вещественных корней, что означает, что парабола не пересекает ось $x$. Кроме того, мы знаем, что парабола открывается вверх и находится над осью $x$.

Таким образом, неравенство $2a^2 - 8a + 16 > 0$ верно для всех значений $a$, так как парабола никогда не пересекает ось $x$ и всегда находится выше ее.