Question

Помогите пж. Докажите тождество 4a²b²(a²+b²) - ( a²+b²)³=(b²-a²)(a⁴-b⁴)

Answer 1

Для доказательства тождества необходимо знать две формулы сокращенного умножения, а именно: разность квадратов и квадрат разности, - а также уметь выносить общий множитель за скобки, раскрывать скобки.

Доказательство прикрепляю:

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и постепенно преобразуем ее, чтобы прийти к правой стороне.

Левая сторона: 4a²b²(a²+b²) - (a²+b²)³

Шаг 1: Вынесем общий множитель из первого слагаемого:

4a²b²(a² + b²) - (a² + b²)³ = (a² + b²) * (4a²b² - (a² + b²)²)

Шаг 2: Возведем квадрат второго слагаемого (a² + b²)²:

(a² + b²) * (4a²b² - (a² + b²)²) = (a² + b²) * (4a²b² - (a^4 + 2a²b² + b^4))

Шаг 3: Раскроем скобки во втором слагаемом:

(a² + b²) * (4a²b² - (a^4 + 2a²b² + b^4)) = (a² + b²) * (4a²b² - a^4 - 2a²b² - b^4)

Шаг 4: Сократим подобные слагаемые во втором множителе:

(a² + b²) * (4a²b² - a^4 - 2a²b² - b^4) = (a² + b²) * (2a²b² - a^4 - b^4)

Шаг 5: Факторизуем разность квадратов во втором множителе:

(a² + b²) * (2a²b² - a^4 - b^4) = (a² + b²) * (b² - a²) * (a² + b²)

Шаг 6: Перепишем последний множитель:

(a² + b²) * (b² - a²) * (a² + b²) = (a² + b²)² * (b² - a²)

Шаг 7: Воспользуемся тождеством (a² + b²)² = (a⁴ + 2a²b² + b⁴):

(a² + b²)² * (b² - a²) = (a⁴ + 2a²b² + b⁴) * (b² - a²)

Шаг 8: Раскроем скобки во втором множителе:

(a⁴ + 2a²b² + b⁴) * (b² - a²) = a⁴b² - a⁶ + 2a²b⁴ - a²b⁴ + b⁶ - b⁴a²

Шаг 9: Сгруппируем подобные слагаемые:

a⁴b² - a⁶ + 2a²b⁴ - a²b⁴ + b⁶ - b⁴a² = a⁴b² + 2a²b⁴ - a⁶ - a²b⁴ - b⁴a² + b⁶

Шаг 10: Факторизуем по алгебраическому тождеству a⁶ - b⁶ = (a³ - b³)(a³ + b³) и сократим подобные слагаемые:

a⁴b² + 2a²b⁴ - a⁶ - a²b⁴ - b⁴a² + b⁶ = (a³ - b³)(a³ + b³) = (a³ - b³) * (a³ + b³)

Шаг 11: Факторизуем разность кубов в первом множителе:

(a³ - b³)(a³ + b³) = (a - b)(a² + ab + b²)(a³ + b³)

Шаг 12: Факторизуем сумму кубов во втором множителе:

(a³ + b³) = (a + b)(a² - ab + b²)

Шаг 13: Подставим обратно в исходное тождество:

(a - b)(a² + ab + b²)(a + b)(a² - ab + b²) = (b² - a²)(a⁴ - b⁴)

Таким образом, мы доказали, что левая сторона (4a²b²(a² + b²) - (a² + b²)³) равна правой стороне ((b² - a²)(a⁴ - b⁴)), что и требовалось доказать.