Question

Решите тригонометрическое уравнение: 2sin2x=3-2sin^2x

Answer 1

$2sin2x=3-2sin^2x\\ 4sinxcosx=3*1-2sin^2x\\ 4sinxcosx=3(sin^2x+cos^2x)-2sin^2x\\ 4sinxcosx=3sin^2x+3cos^2x-2sin^2x\\ 3cos^2x+sin^2x-4sinxcosx=0 \ (:cos^2x\neq 0)\\ 3+tg^2x-4tgx=0\\ tg^2x-4tgx+3=0\\ D=16-12=2^2\\ tgx_1=\frac{4+2}{2}=3\\ tgx_2=\frac{4-2}{2}=1\\ \\ x_1=arctg3+\pi k , k \in Z\\ x_2=\frac{\pi}{4}+\pi k , k \in Z$

Answer 2

2sin2x=3-2sin²x

2sin2x=3-(1-cos2x)
2sin2x-cos2x=2
c=√(2²+1²)=√5
√5(2/√5sin2x-1/√5*cos2x)=2
sina=2/√5;cosa=1/√5

cosa*cos2x-sina*sin2x=-2/√5
cos(2x+a)=-2/√5
2x+a=±(π-arccos2/√5)+2πk
2x=-a±(π-arccos2/√5)+2πk
x=-1/2(arccos1/√5)±1/2*
(π-arccоs2/√5)+πk

Answer 3

Для решения данного тригонометрического уравнения, давайте преобразуем его и найдем значения переменной x.

Уравнение: 2sin^2(x) = 3 - 2sin^2(x)

Для начала, объединим все члены уравнения на одной стороне:

2sin^2(x) + 2sin^2(x) = 3

Теперь преобразуем:

4sin^2(x) = 3

Теперь делим обе стороны на 4:

sin^2(x) = 3/4

Теперь избавимся от квадрата синуса, взяв квадратный корень обеих сторон:

sin(x) = ±√(3/4)

sin(x) = ±√3/2

Синус имеет два значения, которые дают этот результат: √3/2 и -√3/2. Это соответствует углам 60° и 120° (или π/3 и 2π/3 радиан соответственно) в стандартном интервале [0, 2π].

Таким образом, уравнение имеет два набора решений:

1. x = π/3 + 2πk, где k - целое число (соответствует углам 60°, 300°, 660°, и т.д.).

2. x = 2π/3 + 2πk, где k - целое число (соответствует углам 120°, 480°, 840°, и т.д.).

Обратите внимание, что для отрицательных значения углы будут идти в обратном направлении (-60°, -120°, -420° и т.д.).