Question

Исследовать функцию y=x^3+x на монотонность

Answer 1

Заметим, что функция образована сложением двух постоянно возрастающих функций. Следовательно, и вся функция постоянно возрастает.

Answer 2

Для исследования монотонности функции y = x^3 + x, нужно определить знак её производной. Если производная положительна на некотором интервале, то функция монотонно возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна на некотором интервале, то функция монотонно убывает на этом интервале. Если производная равна нулю, это может указывать на экстремумы функции (максимумы и минимумы).

Давайте найдем производную функции y = x^3 + x и определим знак производной на различных интервалах:

1. Найдем производную: y' = d/dx (x^3 + x) y' = 3x^2 + 1

2. Определим, где производная равна нулю: 3x^2 + 1 = 0 3x^2 = -1 x^2 = -1/3

Это уравнение не имеет действительных корней, поскольку нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

3. Определим знак производной на интервалах: Для удобства возьмем несколько точек в каждом интервале и проверим знак производной в них.

a) Если x < 0: Проверим для x = -1: y' = 3(-1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4 (положительное значение) Значит, на интервале x < 0 производная положительна, и функция монотонно возрастает.

b) Если 0 < x: Проверим для x = 1: y' = 3(1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4 (положительное значение) Значит, на интервале 0 < x производная положительна, и функция монотонно возрастает.

Таким образом, функция y = x^3 + x монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть она увеличивается при увеличении аргумента x.