Question

Докажите что прилюбом целом n выражение 5n^2+3n-12 кратно 2

Answer 1

$5n^2+3n-12=(5n^2+5n)-(2n+12)=5n(n+1)-2(n+6)$

Среди двух последовательных чисел n, n + 1 есть ровно одно четное, значит, первое слагаемое всегда чётно. Второе слагаемое тоже чётно, так как среди сомножителей есть 2. Тогда вся сумма делится на 2 как сумма четных слагаемых.

Answer 2

Чтобы доказать, что выражение $5n^2 + 3n - 12$ кратно 2 для любого целого числа $n$, нужно показать, что оно делится на 2 без остатка для всех возможных значений $n$.

Для того чтобы доказать это, давайте воспользуемся методом математической индукции. Математическая индукция - это метод математического доказательства, который используется для доказательства утверждений для всех натуральных чисел (в данном случае целых чисел).

Шаг 1: Проверим базовый случай. При $n = 1$:

$5(1)^2 + 3(1) - 12 = 5 + 3 - 12 = -4$.

-4 не делится на 2 без остатка, поэтому утверждение не выполняется для $n = 1$.

Шаг 2: Предположим, что утверждение выполняется для некоторого целого числа $k$, т.е. $5k^2 + 3k - 12$ кратно 2.

Шаг 3: Докажем, что утверждение выполняется для $n = k + 1$:

$5(n)^2 + 3(n) - 12 = 5(k+1)^2 + 3(k+1) - 12$.

Раскроем скобки:

$5(k^2 + 2k + 1) + 3k + 3 - 12$.

Упростим:

$5k^2 + 10k + 5 + 3k - 9$.

$5k^2 + 13k - 4$.

Теперь заметим, что $5k^2 + 3k - 12$ кратно 2 по предположению индукции. А также $13k$ кратно 2, так как $13k = 2 \cdot 6k + k$, где $6k$ - целое число.

Таким образом, сумма кратных 2 чисел также будет кратна 2. Следовательно, $5k^2 + 13k - 4$ кратно 2.

Шаг 4: Мы показали, что если утверждение выполняется для $n = k$, то оно также выполняется для $n = k + 1$. Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение выполняется для всех целых значений $n$.

Таким образом, можно заключить, что выражение $5n^2 + 3n - 12$ кратно 2 для любого целого $n$.