Question

Постройте график функции у=-(х+1)^2+4 Найдите: 1.) нули функции 2.) промежутки возрастания и убывания 3.) наибольшее или наименьшее значение функции Начертить график

Answer 1

$y = -(x+1)^{2} + 4 = -(x^{2} + 2x + 1) + 4 = -x^{2} - 2x - 1 + 4 =$

$= -x^{2} - 2x + 3$

$a = -1; \ b = -2; \ c = 3$

$a < 0$ ⇒ ветви параболы направлены вниз.

Определим значения абсциссы в точке $x_{0}:$

$x_{0} = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{2}{-2} = -1$

Определим значение ординаты в точке $y_{0}:$

$y(x_{0}) = -(-1)^{2} - 2 \ \cdotp (-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$

Возьмём точки для построения графика:

$| \ \ \ x \ \ \ | \ -3 \ | \ -2 \ | \ -1 \ | \ \ \ 0 \ \ \ | \ \ \ 1 \ \ \ | \\ | \ \ \ y \ \ \ | \ \ \ 0 \ \ \ | \ \ \ 3 \ \ \ | \ \ \ 4 \ \ \ | \ \ \ 3 \ \ \ | \ \ \ 0 \ \ \ |$

Построим график функции (см. вложение).

1) Нули функции:

• При $x = 0 \Rightarrow y = 3$
• При $y = 0 \Rightarrow x = -3; \ x = 1$

2) Промежутки монотонности:

• Функция возрастает при $x \in (- \infty ; \ -1)$
• Функция убывает при $x \in (-1; \ +\infty)$

3) Наибольшее или наименьшее значение функции:

• Наименьшего значения функции нет
• Наибольшее значение функции $y (-1) = 4$

Answer 2

Давайте построим график функции у=-(х+1)^2+4 сначала, а затем найдем нули функции, промежутки возрастания и убывания, а также наибольшее или наименьшее значение функции.

1. Построение графика: Для построения графика нам необходимо знать форму функции y=-(x+1)^2+4. Из данного уравнения мы видим, что у нас есть квадратное уравнение с вершиной параболы в точке (-1, 4) и отрицательным коэффициентом при x^2, что означает, что парабола будет направлена вниз. Начертим график:

scssCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Определение функции
def f(x):
    return -(x + 1)**2 + 4

# Создание массива значений x
x = np.linspace(-5, 3, 100)

# Получение соответствующих значений y
y = f(x)

# Построение графика
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции y=-(x+1)^2+4')
plt.grid(True)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.show()

2. Нули функции: Нули функции - это значения x, при которых функция равна нулю. Чтобы найти их, решим уравнение y=0:

-(x + 1)^2 + 4 = 0

Переносим 4 на другую сторону:

-(x + 1)^2 = -4

Далее, избавляемся от отрицательного коэффициента:

(x + 1)^2 = 4

Теперь извлекаем квадратный корень:

x + 1 = ±2

1. x + 1 = 2

x = 2 - 1

x = 1

2. x + 1 = -2

x = -2 - 1

x = -3

Таким образом, у функции есть два нуля: x = 1 и x = -3.

3. Промежутки возрастания и убывания: Функция у=-(х+1)^2+4 - это парабола, направленная вниз. Парабола возрастает слева от вершины и убывает справа от вершины. Мы можем сказать, что функция возрастает на промежутке (-∞, -1) и убывает на промежутке (-1, +∞).

4. Наибольшее или наименьшее значение функции: Так как парабола направлена вниз, то наибольшее значение функции будет в ее вершине. Таким образом, наибольшее значение функции равно y = 4 (при x = -1), и это одновременно наибольшее значение функции на всей числовой прямой.

Наименьшего значения у данной функции нет, так как она ограничена снизу вершиной параболы (y = 4), и никакие другие точки на графике не достигают значений ниже этой вершины.