Question

Пожалуйста умоляю помогите оченб срочно надо!!!!!!! докажите,что уравнение x^4+5x^3+2x^2+x+4=0 не может иметь положительных корней.

Answer 1

Для начала преобразовываем

$\tt x^4+5x^3+2x^2+x+4=0 \\ x^4+2x^2+4=-5x^3-x \\ x^4+2x^2+4=-x(5x^2+1) \\ x=-\dfrac{x^4+2x^2+4}{5x^2+1}$

Теперь видно, что правая часть уравнения отрицательна при любых значениях x (по св-ву четных степеней числа). При положительном x равенство не выполняется.

Доказано.

Answer 2

Если совсем примитивно, то пусть x₁ корень уравнения

тогда x₁^4+5x₁^3+2x₁^2+x₁+4=0

пусть x₁=0 , тогда 0+0+0+0+4 = 4 > 0 всегда положительна при 0, а при положительных членах тем более 0 никогда не достигнет

значит , если есть корни 4 штуки, то они отрицательные или комплексные

Answer 3

Добро пожаловать! Я рад помочь вам с вашим вопросом.

Для доказательства того, что уравнение x^4 + 5x^3 + 2x^2 + x + 4 = 0 не может иметь положительных корней, мы можем использовать метод интервалов.

Применим теорему Будана, которая утверждает, что число корней уравнения на отрезке [a, b], где a и b — действительные числа, не превосходит разности абсолютных значений количества перемен знаков значений функции на концах отрезка.

Обозначим наше уравнение как f(x) = x^4 + 5x^3 + 2x^2 + x + 4.

1. Найдем f(0): f(0) = 0^4 + 5 * 0^3 + 2 * 0^2 + 0 + 4 = 4.

2. Найдем производную f'(x): f'(x) = 4x^3 + 15x^2 + 4x + 1.

3. Посчитаем f'(x) для x > 0: f'(1) = 4 * 1^3 + 15 * 1^2 + 4 * 1 + 1 = 24 > 0.

Теперь мы знаем, что производная функции положительна на всей положительной полуоси (x > 0). Это означает, что функция возрастает на этом интервале.

Также у нас уже есть значение f(0) = 4.

Теперь, используя теорему Будана, у нас есть два интервала: (0, +∞) и (-∞, 0).

На интервале (0, +∞):

• Значение функции на концах интервала: f(0) = 4 (положительное), и, так как функция возрастает, f(x) на этом интервале не изменит свой знак.
• Количество корней уравнения на этом интервале не превосходит разности количества перемен знаков, то есть 0.

На интервале (-∞, 0):

• Значение функции на концах интервала: f(0) = 4 (положительное), и, так как функция возрастает, f(x) на этом интервале не изменит свой знак.
• Количество корней уравнения на этом интервале также не превосходит разности количества перемен знаков, то есть 0.

Таким образом, общее количество положительных корней уравнения x^4 + 5x^3 + 2x^2 + x + 4 = 0 равно 0. То есть уравнение не может иметь положительных корней.