Question

Найдите первообразную для функции f(x)=1/(x+1)

Answer 1

$f(x)=\frac{1}{x+1}$

$x+1=u$

$\int\limits {\frac{1}{u} } \, dx =Ln(u)$

$\int\limits {\frac{1}{x+1} } \, dx =Ln(x+1)+C$

$F(x)=Ln(x+1)+C$

Answer 2

Для нахождения первообразной (интеграла) функции f(x) = 1/(x + 1), мы будем использовать метод интегрирования по частям.

Интегрирование по частям имеет вид: ∫ u dv = uv - ∫ v du

Где u и v - это функции переменной x, а du и dv - их дифференциалы.

Давайте выберем u и dv: u = ln|x + 1| dv = dx

Теперь дифференцируем u и интегрируем dv: du = (1/(x + 1)) dx v = ∫ dx = x

Теперь можем вычислить наш интеграл, используя формулу интегрирования по частям: ∫(1/(x + 1)) dx = u * v - ∫v * du = ln|x + 1| * x - ∫x * (1/(x + 1)) dx

Далее, рассмотрим ∫x * (1/(x + 1)) dx. Для этого можно сократить x в числителе и знаменателе: ∫x * (1/(x + 1)) dx = ∫(x/(x + 1)) dx

Теперь проведем частное интегрирование: ∫(x/(x + 1)) dx = ∫(1 - 1/(x + 1)) dx = ∫dx - ∫(1/(x + 1)) dx = x - ln|x + 1| + C

Где C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь объединим результаты: ∫(1/(x + 1)) dx = ln|x + 1| * x - (x - ln|x + 1|) + C = x * ln|x + 1| - x + ln|x + 1| + C

Таким образом, первообразная для функции f(x) = 1/(x + 1) это x * ln|x + 1| - x + ln|x + 1| + C, где C - произвольная постоянная.