Question

Докажите, что при всех допустимых значениях а выражение принимает одно и тоже значение: (sin^4 a - cos^4 a) / (sin^2 a - cos^2 a)

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, мы должны показать, что выражение (sin^4(a) - cos^4(a)) / (sin^2(a) - cos^2(a)) равно постоянному значению при всех допустимых значениях переменной "а".

Давайте разберемся с выражением.

(sin^4(a) - cos^4(a)) / (sin^2(a) - cos^2(a))

Мы можем использовать тригонометрические тождества для упрощения числителя и знаменателя:

Тождество разности квадратов: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

Теперь применим тождество разности квадратов к числителю и знаменателю:

(sin^4(a) - cos^4(a)) = (sin^2(a) + cos^2(a))(sin^2(a) - cos^2(a)) (sin^2(a) - cos^2(a)) = (sin(a) + cos(a))(sin(a) - cos(a))

Теперь наше выражение примет вид:

(sin^2(a) + cos^2(a))(sin^2(a) - cos^2(a)) / ((sin(a) + cos(a))(sin(a) - cos(a)))

Обратите внимание, что (sin^2(a) + cos^2(a)) равно 1 (тождество тригонометрии), а (sin(a) + cos(a))(sin(a) - cos(a)) тоже можно упростить:

(sin(a) + cos(a))(sin(a) - cos(a)) = sin^2(a) - cos^2(a)

Теперь наше выражение примет вид:

(sin^2(a) - cos^2(a)) / (sin^2(a) - cos^2(a))

Таким образом, мы получаем:

(sin^4(a) - cos^4(a)) / (sin^2(a) - cos^2(a)) = 1

Таким образом, при всех допустимых значениях "а", данное выражение принимает значение 1, которое является постоянным.