Question

При каком значении параметра а функция y=-x^2+ax-1 возрастает на промежутке (-бесконечность; 2] и убывает на промежутке [2; +бесконечность)?

Answer 1

$f(x) = -x^2 + ax - 1 \\ f'(x) = -2x + a$

$f'(2) = 0 \rightarrow -2*2 + a = 0 \rightarrow a = 4$

Answer 2

Чтобы функция $y = -x^2 + ax - 1$ возрастала на промежутке $(- \infty; 2]$ и убывала на промежутке $[2; + \infty)$, производная функции $y'$ должна быть положительной на $(- \infty; 2]$ и отрицательной на $[2; + \infty)$.

Давайте найдем производную функции $y'$: $y' = \frac{d}{dx} (-x^2 + ax - 1)$

Чтобы найти $y'$, продифференцируем каждый член по отдельности: $y' = \frac{d}{dx} (-x^2) + \frac{d}{dx} (ax) - \frac{d}{dx} (1)$ $y' = -2x + a$

Теперь мы знаем, что $y' = -2x + a$. Для того чтобы функция возрастала на промежутке $(- \infty; 2]$, $y'$ должна быть положительной на этом промежутке. Аналогично, чтобы функция убывала на промежутке $[2; + \infty)$, $y'$ должна быть отрицательной на этом промежутке.

1. Функция возрастает на $(- \infty; 2]$ (положительная $y'$): $y' > 0$ $-2x + a > 0$ $a > 2x$

2. Функция убывает на $[2; + \infty)$ (отрицательная $y'$): $y' < 0$ $-2x + a < 0$ $a < 2x$

Теперь у нас есть два условия: $a > 2x$ и $a < 2x$. Чтобы найти точное значение параметра $a$, который удовлетворяет обоим условиям, приравняем $a$ к $2x$:

$a = 2x$

Теперь подставим значение $a = 2x$ в одно из условий (например, во второе):

$a < 2x$ $2x < 2x$

Здесь возникает противоречие: невозможно найти такое значение $a$, которое бы одновременно удовлетворяло обоим условиям $a > 2x$ и $a < 2x$.

Таким образом, нет такого значения параметра $a$, при котором функция $y = -x^2 + ax - 1$ возрастала на промежутке $(- \infty; 2]$ и убывала на промежутке $[2; + \infty)$.