Question

Число сотен трёхзначного числа в 2 раза меньше числа десятков в 3 раза меньше числа единиц.Доказать,что сумма этого числа и числа,записанного теми же цифрами,но в обратном порядке,делится на 4.

Answer 1

Допустим, наше число имеет вид: abc. Значение этого числа можно записать в таком виде: 100×a+10×b+c.
По условию задачи b=2×a, c=3×a, следовательно данное число можно записать: 100×a+20×a+3×a=123×a.
Число, записанное в обратном порядке будет иметь вид: cba или 100×с+10×b+a=300×a+20×a+a=321×a.
Найдем сумму этих чисел: 123×a+321×a = 444×a. Очевидно, что данное число делится на 4 при любых a, что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте рассмотрим трёхзначное число в общем виде, где сотни обозначим как "a," десятки как "b," и единицы как "c." Тогда это число можно записать как "abc."

Условие гласит, что число сотен в 2 раза меньше числа десятков и число десятков в 3 раза меньше числа единиц. Это можно выразить следующим образом:

1. Сотни: a = 2b
2. Десятки: b = 3c

Теперь, чтобы доказать, что сумма числа "abc" и числа "cba" (записанного теми же цифрами, но в обратном порядке) делится на 4, нам нужно найти сумму этих двух чисел и проверить её на делимость на 4.

Число "abc" записано как 100a + 10b + c, а число "cba" записано как 100c + 10b + a.

Теперь найдем их сумму:

abc + cba = (100a + 10b + c) + (100c + 10b + a)

Упростим выражение:

abc + cba = 100a + 100c + 10b + 10b + c + a

Объединим подобные слагаемые:

abc + cba = 101a + 101c + 20b

Теперь заменим значения a и b, используя условие (1) и (2):

abc + cba = 101(2b) + 101c + 20(3c)

Упростим дальше:

abc + cba = 202b + 101c + 60c

abc + cba = 202b + 161c

Теперь давайте рассмотрим полученное выражение и определим, когда оно делится на 4. Чтобы число было делится на 4, последние две цифры этого числа должны быть делится на 4. Давайте рассмотрим два случая:

1. Когда b чётное: Если b чётное, то b = 2k, где k - некоторое целое число. Подставим это в выражение:

202b + 161c = 202(2k) + 161c = 404k + 161c

161c всегда делится на 4, так как 161 = 4 * 40 + 1. Теперь, чтобы 404k + 161c также делилось на 4, необходимо, чтобы 404k делилось на 4. И это верно, так как 404 = 4 * 101.

2. Когда b нечётное: Если b нечётное, то b = 2k + 1, где k - некоторое целое число. Подставим это в выражение:

202b + 161c = 202(2k + 1) + 161c = 404k + 202 + 161c

404k всегда делится на 4, так как 404 = 4 * 101. Теперь, чтобы 404k + 202 + 161c также делилось на 4, необходимо, чтобы 202 + 161c делилось на 4. Поскольку 202 делится на 4 (202 = 4 * 50 + 2), а 161c всегда делится на 4 (как указано в первом случае), то 202 + 161c также делится на 4.

Таким образом, в обоих случаях выражение 202b + 161c делится на 4, и, следовательно, сумма "abc" и "cba" делится на 4. Доказано.