Question

Число сотен трехзначного числа в 2 раза меньше числа десятков и в 3 раза меньше числа единиц. Доказать, что сумма этого числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 4.

Answer 1

Обозначим искомое число как abc=100*а+10*b+1*c, где а=x, b=2x, c=3x,  тогда
abc=100*x+10*2х+1*3х=100х+20х+3х=123х
Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке: 
cba=100*c+10*b+1*a=100*3x+10*2x+1*x=300x+20x+x=321x

Теперь находим сумму чисел abc и cba:
abc+cba=123х+321х=444х
444*х кратно числу 4, а значит без остатка делится на 4
Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте представим трехзначное число в виде суммы его разрядов: сотен, десятков и единиц. Пусть сотни будут равны H, десятки - D и единицы - U.

Исходя из условия, у нас есть два уравнения:

1. H = (D / 2) 2. H = (U / 3)

Найдем значения H, D и U, удовлетворяющие этим уравнениям.

Из первого уравнения получим, что D = 2H.

Подставим это значение D во второе уравнение:

H = (U / 3) 2H = (U / 3)

Умножим оба уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:

3H = U 6H = U

Таким образом, мы получили, что U = 3H и U = 6H.

Теперь найдем значения H, D и U, удовлетворяющие этим уравнениям.

Из первого уравнения получим, что U = 3H.

Подставим это значение U во второе уравнение:

H = (3H / 3) H = H

Таким образом, мы получили, что H = H.

Теперь найдем значения H, D и U, удовлетворяющие этим уравнениям:

H = H D = 2H U = 3H

Таким образом, мы имеем трехзначное число вида HDU, где H, D и U удовлетворяют условию задачи.

Теперь давайте проверим, делится ли сумма этого числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на 4.

Сумма числа HDU и числа UDH, записанного в обратном порядке, можно записать следующим образом:

HDU + UDH = (100H + 10D + U) + (100U + 10D + H) = 101H + 20D + 101U

Теперь давайте проверим, делится ли эта сумма на 4.

Для того чтобы число делилось на 4, необходимо, чтобы последние две цифры (20D + 101U) были кратны 4.

Давайте рассмотрим все возможные значения для D и U и проверим, кратны ли они 4:

- Если D = 0 и U = 0, то 20D + 101U = 0, что делится на 4. - Если D = 0 и U = 3H, то 20D + 101U = 20(0) + 101(3H) = 303H, что делится на 4. - Если D = 2H и U = 3H, то 20D + 101U = 20(2H) + 101(3H) = 400H, что делится на 4.

Таким образом, мы доказали, что сумма числа HDU и числа UDH, записанного в обратном порядке, делится на 4.