Question

Найдите все пары целых чисел x и y таких, что x^2=y^2+2y+6

Answer 1

Выделим полный квадрат:

$x^2=(y^2+2y+1)+5\\x^2=(y+1)^2+5\\x^2-(y+1)^2=5$

Раскладываем левую часть по формуле разности квадратов:

$(x-(y+1))(x+(y+1))=5\\(x-y-1)(x+y+1)=5$

5 можно разложить в произведение двух сомножителей следующими способами:

$5=5\cdot1=1\cdot5=(-1)\cdot(-5)=(-5)\cdot(-1)$

Это позволяет заменить рассмотрение уравнение на совокупность из четырёх систем:

1) x - y - 1 = 5, x + y + 1 = 1

Складываем и вычитаем уравнения:

2x = 5 + 1, 2y + 2 = 1 - 5

x = 3, y = -3

2) x - y - 1 = 1, x + y + 1 = 5

2x = 1 + 5, 2y + 2 = 5 - 1

x = 3, y = 1

3) x - y - 1 = -1, x + y + 1 = -5

2x = -1 - 5, 2y + 2 = -5 + 1

x = -3, y = -3

4) x - y - 1 = -5, x + y + 1 = -1

2x = -5 - 1, 2y + 2 = -1 + 5

x = -3, y = 1

Этот же ответ можно было получить из первого решения и того, что если (x, y) – решение, то и (-x, y) и (x, -2 - x) – решение.

Ответ. (3, -3), (3, 1), (-3, -3), (-3, 1)

Answer 2

x^2 = y^2 + 2y + 6

x^2 = y^2 + 2y + 1 + 5 = (y+1)^2 + 5

Выпишем ряд квадратов:

0; 1; 4; 9; 16; 25;...

Разность 5 между двумя квадратами - это 4 и 9.

x^2 = 9; x1 = -3; x2 = 3

(y+1)^2 = 4; y1+1 = -2; y1 = -3; y2+1 = 2; y2 = 1.

Ответ: (-3; -3); (-3; 1); (3; -3); (3; 1)

Answer 3

Для решения данного уравнения, можно воспользоваться методом дополнения квадратов. Начнем с переписывания уравнения в следующем виде:

x^2 = y^2 + 2y + 6

Попробуем дополнить правую сторону уравнения так, чтобы она стала квадратом некоторого выражения. Для этого нужно добавить и вычесть определенное число. В данном случае, добавим и вычтем число 1:

x^2 = y^2 + 2y + 1 + 6 + 1 - 1

Теперь перепишем уравнение с учетом дополнения квадратов:

x^2 = (y^2 + 2y + 1) + 7 - 1

Заметим, что выражение (y^2 + 2y + 1) является квадратом бинома (y + 1)^2:

x^2 = (y + 1)^2 + 7 - 1

x^2 = (y + 1)^2 + 6

Теперь уравнение приняло более удобный вид. Мы можем рассмотреть все возможные значения (y + 1)^2 и затем найти соответствующие значения x.

Таким образом, решим уравнение (y + 1)^2 + 6 = x^2.

Давайте рассмотрим некоторые возможные значения (y + 1)^2:

1. (y + 1)^2 = 1 Это дает нам: x^2 = 1 + 6 = 7. В этом случае у нас есть две возможные пары (x, y): a) x = sqrt(7), y = 0 (так как y + 1 = 1, значит y = 0) b) x = -sqrt(7), y = -2 (так как y + 1 = -1, значит y = -2)

2. (y + 1)^2 = 4 Это дает нам: x^2 = 4 + 6 = 10. В этом случае у нас также есть две возможные пары (x, y): a) x = sqrt(10), y = 1 (так как y + 1 = 2, значит y = 1) b) x = -sqrt(10), y = -3 (так как y + 1 = -2, значит y = -3)

3. (y + 1)^2 = 9 Это дает нам: x^2 = 9 + 6 = 15. В этом случае у нас две возможные пары (x, y): a) x = sqrt(15), y = 2 (так как y + 1 = 3, значит y = 2) b) x = -sqrt(15), y = -4 (так как y + 1 = -3, значит y = -4)

... и так далее.

Продолжим аналогичные шаги для остальных возможных значений (y + 1)^2. Все найденные пары (x, y) будут удовлетворять исходному уравнению x^2 = y^2 + 2y + 6.