Question

Докажите четность или нечетность следующих функций б)f(x)=|x|-2x^2 в)f(x)=x^2-16/0,5sin2x г)f(x)=x(x^2-3)/cos3x

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Чтобы доказать четность или нечетность функций, нужно рассмотреть их свойства относительно оси ординат (ось симметрии) и оси абсцисс (точка симметрии). Функция является четной, если она удовлетворяет условию f(x) = f(-x) для всех x в области определения. Функция является нечетной, если она удовлетворяет условию f(x) = -f(-x) для всех x в области определения.

a) f(x) = |x| - 2x^2

Проверим четность/нечетность функции f(x):

1. Относительно оси ординат (ось симметрии): f(-x) = |-x| - 2(-x)^2 = |x| - 2x^2 = f(x)

Функция f(x) является четной, так как она симметрична относительно оси ординат.

б) f(x) = x^2 - 16 / (0.5 * sin(2x))

Проверим четность/нечетность функции f(x):

1. Относительно оси ординат (ось симметрии): f(-x) = (-x)^2 - 16 / (0.5 * sin(-2x)) = x^2 - 16 / (0.5 * sin(-2x))

Так как sin(-2x) = -sin(2x), то:

f(-x) = x^2 - 16 / (-0.5 * sin(2x))

2. Относительно оси абсцисс (точка симметрии): f(-x) = (-x)^2 - 16 / (0.5 * sin(2(-x))) = x^2 - 16 / (-0.5 * sin(2x))

Таким образом, f(-x) = -f(x).

Функция f(x) является нечетной, так как она обладает точной симметрией относительно начала координат.

г) f(x) = x(x^2 - 3) / cos(3x)

Проверим четность/нечетность функции f(x):

1. Относительно оси ординат (ось симметрии): f(-x) = (-x)((-x)^2 - 3) / cos(3(-x)) = -x(x^2 - 3) / cos(-3x)

Так как cos(-3x) = cos(3x), то:

f(-x) = -x(x^2 - 3) / cos(3x)

2. Относительно оси абсцисс (точка симметрии): f(-x) = (-x)((-x)^2 - 3) / cos(3(-x)) = -x(x^2 - 3) / cos(-3x)

Таким образом, f(-x) = f(x).

Функция f(x) является четной, так как она симметрична относительно оси ординат.

Итак, краткий вывод:

а) f(x) = |x| - 2x^2 является четной функцией. б) f(x) = x^2 - 16 / (0.5 * sin(2x)) является нечетной функцией. г) f(x) = x(x^2 - 3) / cos(3x) является четной функцией.