Question

Решить уравнение: 2(x- 1/x)^2 + x+ 1/x - 2=0

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для решения уравнения, давайте сделаем замену переменной, чтобы упростить выражение. Обозначим $y = x - \frac{1}{x}$. Тогда уравнение примет вид:

$2y^2 + (x + \frac{1}{x}) - 2 = 0$

Теперь заметим, что $x + \frac{1}{x}$ является тоже самой переменной $y$, так как $x - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = x$. Таким образом, уравнение примет вид:

$2y^2 + y - 2 = 0$

Теперь решим квадратное уравнение относительно $y$. Для этого можно использовать квадратное уравнение $ay^2 + by + c = 0$, где $a = 2$, $b = 1$, и $c = -2$. Решение квадратного уравнения можно найти с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac$ $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17$

Так как $D > 0$, у нас есть два действительных корня $y_1$ и $y_2$, которые могут быть найдены следующим образом:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}$

Теперь, найдем значения $x$ для каждого из корней $y$, используя исходную замену $y = x - \frac{1}{x}$:

Для $y_1$:

$y_1 = x - \frac{1}{x} = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$

$4y_1 = 4x - 1 + \sqrt{17}$ $4x = 4y_1 + 1 - \sqrt{17}$ $x = \frac{4y_1 + 1 - \sqrt{17}}{4}$

Для $y_2$:

$y_2 = x - \frac{1}{x} = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}$