Question

Помогите алгебра решите неравенства (x+2) (x-3)>0 (x+1) (2x-8) (3x+6) ≤0

Answer 1

1) x=(3;+бесконечность)
2)x=(-бесконечность;-1] и [-2;4]

Answer 2

Для решения неравенств необходимо найти интервалы значений переменной $x$, для которых неравенства выполняются. Для этого можно использовать метод интервалов знакопостоянства.

1. Решение неравенства $(x+2)(x-3) > 0$:

Сначала найдем точки, где выражение $(x+2)(x-3)$ равно нулю, так как в этих точках неравенство может менять знак: $(x+2)(x-3) = 0$

Это уравнение будет выполнено, если $x = -2$ или $x = 3$.

Теперь возьмем точку в каждом из трех интервалов, образованных этими значениями: a) $x < -2$, b) $-2 < x < 3$, c) $x > 3$.

Возьмем, например, $x = 0$ для интервала $a$, $x = -1$ для интервала $b$, и $x = 4$ для интервала $c$.

Подставим эти значения в исходное неравенство: a) $x = 0: (0+2)(0-3) = 2 \cdot (-3) = -6 < 0$, b) $x = -1: (-1+2)(-1-3) = 1 \cdot (-4) = -4 < 0$, c) $x = 4: (4+2)(4-3) = 6 \cdot 1 = 6 > 0$.

Теперь определяем знаки внутри каждого интервала:

a) $x < -2$: $(x+2)(x-3) < 0$ (знак "<" так как оба множителя отрицательны), b) $-2 < x < 3$: $(x+2)(x-3) < 0$ (знак "<" так как первый множитель положительный, а второй отрицательный), c) $x > 3$: $(x+2)(x-3) > 0$ (знак ">" так как оба множителя положительны).

Итак, решением неравенства $(x+2)(x-3) > 0$ является объединение интервалов $x < -2$ и $x > 3$:

Ответ: $-\infty < x < -2$ или $x > 3$.

2. Решение неравенства $(x+1)(2x-8)(3x+6) \leq 0$:

Сначала найдем точки, где выражение $(x+1)(2x-8)(3x+6)$ равно нулю, так как в этих точках неравенство может менять знак: $(x+1)(2x-8)(3x+6) = 0$

Это уравнение будет выполнено, если $x = -1$ (первый множитель равен нулю), $x = 4$ (второй множитель равен нулю), или $x = -2$ (третий множитель равен нулю).

Теперь возьмем точку в каждом из четырех интервалов, образованных этими значениями: a) $x < -2$, b) $-2 < x < -1$, c) $-1 < x < 4$, d) $x > 4$.

Возьмем, например, $x = 0$ для интервала $a$, $x = -1.5$ для интервала $b$, $x = 2$ для интервала $c$, и $x = 5$ для интервала $d$.

Подставим эти значения в исходное неравенство: a) $x = 0: (0+1)(2 \cdot 0 - 8)(3 \cdot 0 + 6) = 1 \cdot (-8) \cdot 6 = -48 < 0$, b) $x = -1.5: (-1.5+1)(2 \cdot (-1.5) - 8)(3 \cdot (-1.5) + 6) = (-0.5) \cdot (-11) \cdot 1.5 = 8.25 > 0$, c) $x = 2: (2+1)(2 \cdot 2 - 8)(3 \cdot 2 + 6) = 3 \cdot (-4) \cdot 12 = -144 < 0$