Question

Найти предел. Без Лопиталя

Answer 1

$\displaystyle \lim_{x \to 1}(x-1){\rm tg}\frac{\pi x}{2}=\left\{\begin{array}{ccc}x-1=t\\x=t+1\\t\to 0\end{array}\right\}=\lim_{t \to 0}\bigg[t\cdot{\rm tg}\bigg(\frac{\pi t}{2}+\frac{\pi}{2}\bigg)\bigg]=\\ \\ \\ =-\lim_{t \to 0}\bigg(t\cdot {\rm ctg}\frac{\pi t}{2}\bigg)=-\lim_{t \to 0}\frac{t\cos\frac{\pi t}{2}}{\sin \frac{\pi t}{2}}=-\lim_{t \to 0}\frac{t}{\sin \frac{\pi t}{2}}=-\lim_{t \to 0}\frac{t\cdot \frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}\cdot \sin \frac{\pi t}{2}}=-\frac{2}{\pi}$

Answer 2

Чтобы найти предел функции без применения правила Лопиталя, необходимо использовать другие методы, такие как алгебраические преобразования, замены переменных или известные предельные значения элементарных функций.

Давайте рассмотрим пример предела и найдем его без применения правила Лопиталя:

Пример: Найти предел функции при x стремящемся к 0: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$

Шаг 1: Мы можем заметить, что данный предел соответствует классическому пределу, для которого известно значение: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Это значение известно из теории пределов и может быть доказано различными способами, например, с использованием ряда Тейлора функции $\sin x$.

Поэтому ответ на данный пример равен: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$