Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА tg^2x=12cos^2x

Answer 1

task/30040709   tg²x =12cos²x

решение  ОДЗ: cosx ≠ 0   ( x ≠ π/2 + πn )

tg²x =12cos²x ⇔ sin²x/cos²x =12cos²x ⇔ sin²x= 12(cos²x)² ⇔

[sin²x =1 -cos²x] 12(cos²x)²+cos²x -1 =0 замена cos²x =t > 0(с учетом ОДЗ )

12t² + t - 1 =0   D =1² -4*12*(-1) =49 =7² ⇒ t₁ =( -1 -7)/2*12 = -1/3 посторонний корень ; t₂ = 1 / 4 ⇒ cos²x = 1/4⇔(1 +cos2x)/2 =1/4⇔  cos2x  = - 1/2 ⇒

2x = ±2π/3 +2πn ,  n ∈  ℤ       ;       x = ± π/3 +πn ,  n ∈ ℤ .

ответ:  ± π/3 +πn ,  n ∈ ℤ .

Answer 2

Конечно, давайте решим данное уравнение:

tg^2(x) = 12cos^2(x)

Сначала заметим, что тангенс квадрата (tg^2(x)) может быть переписан как квадрат тангенса (tan^2(x)):

tan^2(x) = 12cos^2(x)

Теперь воспользуемся тождеством:

tan^2(x) + 1 = sec^2(x)

где sec(x) - это секанс функции, определенный как 1/cos(x). Подставим это тождество:

1 + 12cos^2(x) = sec^2(x)

Теперь заметим, что у нас есть еще одно тождество:

sec^2(x) = 1/cos^2(x)

Теперь можем переписать уравнение:

1 + 12cos^2(x) = 1/cos^2(x)

Умножим обе стороны на cos^2(x), чтобы избавиться от знаменателя:

cos^2(x) + 12cos^4(x) = 1

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos^2(x). Пусть cos^2(x) = t:

t + 12t^2 = 1

Поместим все слагаемые на одну сторону:

12t^2 + t - 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac

где у нас есть уравнение вида ax^2 + bx + c = 0. В нашем случае:

a = 12, b = 1, c = -1

D = 1^2 - 4 * 12 * -1 = 1 + 48 = 49

Теперь найдем значения t:

t = (-b ± √D) / 2a

t = (-1 ± √49) / 2 * 12

t = (-1 ± 7) / 24

Таким образом, получаем два значения:

1. t = (7 - 1) / 24 = 6 / 24 = 1/4
2. t = (-7 - 1) / 24 = -8 / 24 = -1/3

Теперь вернемся к исходной переменной:

cos^2(x) = 1/4 или cos^2(x) = -1/3

Однако косинус квадрата не может быть отрицательным числом, так как он всегда находится в диапазоне от 0 до 1. Поэтому рассмотрим только первое уравнение:

cos^2(x) = 1/4

Теперь найдем значение cos(x):

cos(x) = ± √(1/4) = ± 1/2

Так как уравнение tg^2(x) = 12cos^2(x) симметрично, значит, у нас будут два набора решений:

1. tg(x) = √12 * cos(x) = √12 * 1/2 = √3
2. tg(x) = -√12 * cos(x) = -√12 * 1/2 = -√3

Таким образом, решения уравнения tg^2(x) = 12cos^2(x) - это:

x = arctg(√3) + π * n и x = arctg(-√3) + π * n,

где n - целое число.