Question

Решить уравнения1) cos(12x)-2sin^2(3x)-1=02) 2sin(13pi/3)*sin(5x)+1=cos(10x)3)3-3 sin^4(x)-5cos^4(x)=04)10sin(2x)+11=12cos^2(2x)-cos(4x)

Answer 1

1)cos12x-2sin²3x-1=0 ⇒ 1-2sin² 6x-2sin²3x-1=0 ⇒sin²6x+sin²x=0; ⇒
2sin²3x·cos²3x+sin²3x=0 ⇒sin²3x(2cos²3x+1)=0⇒
sin²3x=0 ⇒sinx=0⇒x=kπ;k∈Z;
2cos²3x+1=0⇒cos²3x≠ -1/2⇒cos²3x≥0.
3)3-3sin⁴x-5cos⁴x=0  ⇒3-(3sin⁴x+3cos⁴x)-2cos⁴x=0 ⇒3-3-2cos⁴x=0 ⇒
2cos⁴x=0 ⇒cosx=0  x=π/2+kπ;k∈Z;
4)10sin2x+11=12cos²2x-cos4x ⇒10sin2x+11=12(1-sin²2x)-1+2sin²2x⇒
10sin2x+11-12+12sin²2x+1-2sin²2x=0 ⇒10sin²2x+10sin2x=0⇒
sin²2x+sin2x=0⇒sin2x(sin2x+1)=0 ⇒
sin2x=0 ⇒2x=kπ; x=kπ/2;k∈Z;
sin2x+1=0⇒sin2x=-1 ⇒2x=-π/2+2kπ ⇒x=-π/4+kπ;k∈Z.

Answer 2

1) Начнем с уравнения: cos(12x) - 2sin^2(3x) - 1 = 0

Перепишем sin^2(3x) как 1 - cos^2(3x): cos(12x) - 2(1 - cos^2(3x)) - 1 = 0

Раскроем скобки и упростим уравнение: cos(12x) - 2 + 2cos^2(3x) - 1 = 0 2cos^2(3x) + cos(12x) - 3 = 0

Далее воспользуемся формулой для квадратного уравнения, где заменим cos(3x) на t: 2t^2 + cos(12x) - 3 = 0

Найдем значения t: t = cos(3x)

Используя формулу тангенса половинного угла, выражаем cos(3x) через t: cos(3x) = 2t^2 - 1

Подставляем это выражение в уравнение: 2(2t^2 - 1)^2 + cos(12x) - 3 = 0

Раскроем скобки и упростим: 8t^4 - 8t^2 + cos(12x) - 3 = 0

Теперь найдем значения cos(12x): cos(12x) = 1 - 2sin^2(6x)

Подставим это значение в уравнение: 8t^4 - 8t^2 + 1 - 2sin^2(6x) - 3 = 0 8t^4 - 8t^2 - 2sin^2(6x) - 2 = 0

Сократим на 2: 4t^4 - 4t^2 - sin^2(6x) - 1 = 0

Теперь заметим, что sin^2(6x) = 1 - cos^2(6x):

4t^4 - 4t^2 - (1 - cos^2(6x)) - 1 = 0 4t^4 - 4t^2 - 1 + cos^2(6x) - 1 = 0 4t^4 - 4t^2 + cos^2(6x) - 2 = 0

Но мы знаем, что t = cos(3x), поэтому можем записать: 4cos^4(3x) - 4cos^2(3x) + cos^2(6x) - 2 = 0

Уравнение стало сложным для дальнейшего решения. Возможно, оно не имеет аналитического решения.

2) Перепишем уравнение: 2sin(13pi/3)*sin(5x) + 1 = cos(10x)

Учитывая, что sin(13pi/3) = sin(pi/3), cos(10x) = cos(2(5x)), уравнение примет вид: 2sin(pi/3)*sin(5x) + 1 = cos(2(5x))

Заменим sin(pi/3) на 1/2 и cos(2(5x)) на 2cos^2(5x) - 1: sin(5x) + 1 = 2cos^2(5x) - 1

Перегруппируем и упростим: 2cos^2(5x) - sin(5x) = 2

Перепишем cos^2(5x) через sin^2(5x): 2(1 - sin^2(5x)) - sin(5x) = 2 2 - 2sin^2(5x) - sin(5x) = 2 -2sin^2(5x) - sin(5x) = 0

Вынесем sin(5x) за скобку: sin(5x)(-2sin(5x) - 1) = 0

Теперь можем найти два возможных значения sin(5x): 1) sin(5x) = 0 2) -2sin(5x) - 1 = 0

Рассмотрим первый случай: sin(5x) = 0 Тогда 5x = nπ, где n - целое число.

Рассмотрим второй случай: -2sin(5x) - 1 = 0 sin(5x) = -1/2 5x = 7π/6 + 2nπ или 5x = 11π/6 + 2nπ, где n - целое число.

Таким образом, уравнение имеет бесконечное количество решений.

3) Решение уравнения: 3 - 3 + sin^4(x) - 5cos^4(x) = 0

Упростим: sin^4(x) - 5cos^4(x) = 0

Применим формулы тригонометрии: sin^4(x) = (1 - cos^2(x))^2 cos^4(x) = (1 - sin^2(x))^2

Подставим эти значения в уравнение: (1 - cos^2(x))^2 - 5(1 - sin^2(x))^2 = 0

Раскроем скобки: 1 - 2cos^2(x) + cos^4(x) - 5 + 10sin^2(x) - 5sin^4(x) = 0

Сгруппируем члены: cos^4(x) - 2cos^2(x) - 5sin^4(x) + 10sin^2(x) - 4 = 0

Вынесем общие множители: (cos^2(x) - 2)(cos^2(x) - 5sin^2(x) + 2) = 0

Теперь решим каждое уравнение отдельно: 1) cos^2(x) - 2 = 0 cos^2(x) = 2 cos(x) = ±√2

2) cos^2(x) - 5sin^2(x) + 2 = 0 Можно заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x): cos^2(x) - 5(1 - cos^2(x)) + 2 = 0 6cos^2(x) - 5 = 0 cos^2(x) = 5/6 cos(x) = ±√(5/6)

Таким образом, уравнение имеет четыре решения: cos(x) = ±√2 или cos(x) = ±√(5/6).

4) Решение уравнения: 10sin(2x) + 11 = 12cos^2(2x) - cos(4x)

Перепишем cos(2x) и cos(4x) через sin: cos(2x) = 1 - 2sin^2(x) cos(4x) = 1 - 2sin^2(2x)

Подставим эти значения в уравнение: 10sin(2x) + 11 = 12(1 - 2sin^2(x))^2 - (1 - 2sin^2(2x))

Распишем квадрат и упростим: 10sin(2x) + 11 = 12(1 - 4sin^2(x) + 4sin^4(x)) - (1 - 2sin^2(2x))

Раскроем скобки: 10sin(2x) + 11 = 12 - 48sin^2(x) + 48sin^4(x) - 1 + 2sin^2(2x)

Упростим: 48sin^4(x) - 46sin^2(x) + 2sin^2(2x) - 1 - 10sin(2x) + 1 - 12 = 0 48sin^4(x) - 46sin^2(x) + 2sin^2(2x) - 10sin(2x) - 10 = 0

Такое уравнение сложно решить