Question

Известно, что число √2 является корнем уравнения х^3-(а+2)х^2+bx-2а=0 (а и b -целые ) . найдите значения а и b и остальные корни уравнения

Answer 1

task/30061578   Известно , что  число √2  является  корнем  уравнения x³ - (а+2)x²+bx-2a =0 (а и b -целые ) . Найдите значения а и b и остальные корни уравнения.

решение  √2 корень уравнения ,следовательно :

(√2)³ - (а+2)*(√2)² + b*√2-2a =0 ⇔ (2+b)√2 - 4(a+1) =0  ; a , b ∈ ℤ ⇒

2+b  =0 , т.е. b = - 2  ;  0 - 4(a+1) = 0 ⇔a+1 = 0 ⇒ a = - 1 .

Определили коэффициенты a и b. Получили определенное уравнение:  x³- x²-2x + 2 =0 ⇔x²(x -1) -2(x -1) =0⇔ (x-1)(x²-2) =0⇔ (x-1)(x-√2)(x+√2) =0.

[ x = -√2 ; x =1 ; x =√2 .

ответ: a = - 1 , b = - 2   .  x = { -√2 ;  1 ; √2 } .

Answer 2

Для начала, давайте воспользуемся информацией о корне уравнения и применим его к нашему уравнению.

Известно, что число √2 является корнем уравнения: х^3 - (а + 2)х^2 + bx - 2а = 0

Если число является корнем уравнения, то это означает, что подставляя его в уравнение, получим равенство 0.

Подставим √2 в уравнение: (√2)^3 - (а + 2)(√2)^2 + b(√2) - 2а = 0

Упростим: 2√2 - (а + 2) * 2 + b√2 - 2а = 0

Теперь сгруппируем слагаемые с корнем и без корня: (2√2 - 2а) + (b√2 - (а + 2) * 2) = 0

Для того чтобы уравнение было верным, каждый из коэффициентов должен быть равен нулю:

1. 2√2 - 2а = 0
2. b√2 - (а + 2) * 2 = 0

Решим первое уравнение (1) относительно а: 2а = 2√2 а = √2

Теперь, используем это значение а во втором уравнении (2): b√2 - (√2 + 2) * 2 = 0 b√2 - 2√2 - 4 = 0 b√2 = 2√2 + 4 b = (2√2 + 4)/√2 b = 2 + 2√2

Таким образом, значения а и b равны: а = √2 b = 2 + 2√2

Теперь найдем остальные корни уравнения. Мы знаем, что √2 является одним из корней, а у нас кубическое уравнение, поэтому у нас должно быть еще два корня.

Чтобы найти остальные корни, мы можем разделить наше уравнение на (х - √2), так как мы уже знаем, что √2 является одним из корней.

Делим уравнение на (х - √2): (х^3 - (а + 2)х^2 + bx - 2а) / (х - √2) = 0

Результат деления: х^2 + (а - 2)х + 2а / (х - √2) = 0

Теперь найдем остальные два корня уравнения, решив квадратное уравнение:

х^2 + (а - 2)х + 2а = 0

Подставим значение а = √2:

х^2 + (√2 - 2)х + 2√2 = 0

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

D = (b^2 - 4ac) = ((√2 - 2)^2 - 4 * 1 * 2√2) = (2 - 4√2 + 4 - 8√2) = (-4 - 12√2)

Так как дискриминант D отрицателен, у нас два комплексных корня:

х = [-(а - 2) ± √D] / 2

х = [-(√2 - 2) ± √(-4 - 12√2)] / 2

х = [2 - √2 ± 2√(3 + √2)i] / 2

Упростим:

х = 1 - √2 ± √(3 + √2)i

Таким образом, остальные два корня уравнения равны:

х = 1 - √2 + √(3 + √2)i

х = 1 - √2 - √(3 + √2)i