Question

Довести, вираз (x-1)(x-3)(x-4)(x-6)+10 набуває додатних значень при всіх значеннях x

Answer 1

Розв'язок на фото ......

Answer 2

Щоб довести, що вираз $(x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10$ набуває додатних значень при всіх значеннях x, давайте розглянемо його поведінку.

По-перше, ми можемо помітити, що добуток $(x-1)(x-3)(x-4)(x-6)$ має чотири множники. Записавши їх у вигляді числових відстаней від деякої точки, ми отримуємо:

$(x-1)$ описує відстань від точки x до точки 1 (це ліва межа діапазону). $(x-3)$ описує відстань від точки x до точки 3. $(x-4)$ описує відстань від точки x до точки 4. $(x-6)$ описує відстань від точки x до точки 6 (це права межа діапазону).

Тепер ми можемо перевірити, коли цей добуток буде позитивним, тобто, коли всі чотири множники одночасно будуть або додатніми, або від'ємними (тоді від'ємний результат домножимо на 10, і отримаємо позитивне число).

Очевидно, що з двох точок, наприклад, 1 і 3, є точка, де вони рівні один одному (в даному випадку, це точка x = 2), і після неї всі чотири множники змінюють знак одночасно, тому добуток стає негативним.

Так само для точок 3 і 4 є точка, де вони рівні один одному (в даному випадку, це точка x = 3.5), і після неї всі чотири множники знову змінюють знак одночасно, тому добуток стає позитивним.

Існує така точка і між 4 і 6 (x = 5.5), і після неї всі чотири множники знову змінюють знак одночасно, тому добуток знову стає негативним.

Отже, з цих врахувань ми бачимо, що добуток $(x-1)(x-3)(x-4)(x-6)$ набуває додатних значень лише в діапазонах між 1 і 2, а також між 3.5 і 5.5. Поза цими діапазонами він буде негативним.

Оскільки ми додаємо до цього добутку 10 (що є позитивним числом), весь вираз $(x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10$ набуває додатних значень при всіх значеннях x окрім цих діапазонів, коли він буде меншим за 10, а тому дорівнювати від'ємному числу.

Таким чином, вираз $(x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10$ буде додатнім для всіх значень x, за винятком діапазонів між 1 і 2, а також між 3.5 і 5.5.