Question

Помогите решить!!!!! Пожалуйста! 1 )f(x) = x^2-1 / x^2+1 2) f(x) = 2x^2 / 1 - 7x

Answer 1

f (x) = x² -   1/(x^2+1)  так записано? Если так, то

F'= 2x +1 ·((х²-1)^(-2))· 2x = 2x+ 2х/(х²-1)²

 

f(x)=2x² / (1-7x )

F'=  ((4х·(1-7х)+14х²)) / (1-7х)²

не поймёшь, пиши  

Answer 2

Для решения этих задач, вам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите область определения функций, то есть значения x, для которых функции определены.

2. Если функции определены на всей числовой прямой, то исследуйте их поведение, анализируя пределы при x стремящемся к бесконечности и минус бесконечности.

3. Найдите точки разрыва, если они есть.

4. Найдите производные функций и исследуйте их на монотонность и нахождение экстремумов.

5. Изучите поведение функций в окрестности точек разрыва и особых точек.

Давайте начнем с первой функции:

1. f(x) = (x^2 - 1) / (x^2 + 1)

Шаг 1: Область определения функции Функция определена для всех значений x, так как знаменатель (x^2 + 1) всегда положителен, и нет значений x, для которых функция была бы неопределенной.

Шаг 2: Пределы при x стремящемся к бесконечности и минус бесконечности lim(x -> +∞) f(x) = lim(x -> +∞) (x^2 - 1) / (x^2 + 1) = 1 lim(x -> -∞) f(x) = lim(x -> -∞) (x^2 - 1) / (x^2 + 1) = 1

Функция имеет горизонтальную асимптоту y = 1 при x -> ±∞.

Шаг 3: Точки разрыва Функция не имеет точек разрыва, так как она определена на всей числовой прямой.

Шаг 4: Производные функции f'(x) = (2x(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(2x)) / (x^2 + 1)^2 f'(x) = (2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x) / (x^2 + 1)^2 f'(x) = 4x / (x^2 + 1)^2

Шаг 5: Исследование на монотонность и экстремумы Чтобы исследовать монотонность, нужно проанализировать знак производной. f'(x) = 4x / (x^2 + 1)^2

Производная равна нулю только при x = 0, и она всегда положительна при x ≠ 0. Это значит, что функция возрастает на всей числовой прямой, кроме x = 0.

Теперь рассмотрим вторую функцию:

2. f(x) = 2x^2 / (1 - 7x)

Шаг 1: Область определения функции Функция определена для всех значений x, за исключением значения x, при котором знаменатель равен нулю. Найдем это значение: 1 - 7x = 0 7x = 1 x = 1/7

Таким образом, область определения функции - все значения x, кроме x = 1/7.

Шаг 2: Пределы при x стремящемся к бесконечности и минус бесконечности lim(x -> +∞) f(x) = lim(x -> +∞) 2x^2 / (1 - 7x) = -∞ lim(x -> -∞) f(x) = lim(x -> -∞) 2x^2 / (1 - 7x) = +∞

Функция не имеет вертикальных асимптот.

Шаг 3: Точки разрыва Точка разрыва функции существует при x = 1/7, так как знаменатель обращается в нуль при этом значении.

Шаг 4: Производные функции f'(x) = [2x^2]' / (1 - 7x) + 2x^2 * [1 - 7x]'/ (1 - 7x)^2 f'(x) = (4x) / (1 - 7x) - (14x^2) / (1 - 7x)^2

Шаг 5: Исследование на монотонность и экстремумы Чтобы исследовать монотонность, нужно проанализировать знак производной. f'(x) = (4x) / (1 - 7x) - (14x^2) / (1 - 7x)^2

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: (4x) / (1 - 7x) - (14x^2) / (1 - 7x)^2 = 0

Решим уравнение: 4x(1 - 7x) - 14x^2 = 0 4x - 28x^2 - 14x^2 = 0 42x^2 - 4x = 0 2x(21x - 1) = 0

Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 1/21.

Теперь можно построить таблицу знаков производной, чтобы определить интервалы монотонности:

|x | 0 | 1/21 | 1/7 | |f'(x)| 0 | + | - |

Итак, функция убывает на интервале (-∞, 1/21) и возрастает на интервале (1/21, 1/7).

Теперь можем проанализировать