Question

Докажите что при любом х, принадлежащем серии натуральных чисел, выражение (х-1)!+1 будет кратно х

Answer 1

при будь-якому значення х, вираз (х-1)+1 буде кратним йому, адже якщо наприклад замість змінної х підставити число 6, х=6 вираз дорівнюватиме (6-1)+1=5+1=6. 6 кратне 6.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся тем, что $(x-1)!$ обозначает факториал числа $(x-1)$ и определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до $(x-1)$. То есть, $(x-1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (x-2) \cdot (x-1)$.

Мы должны показать, что $(x-1)! + 1$ делится на $x$ без остатка, т.е. что остаток от деления $(x-1)! + 1$ на $x$ равен нулю.

Давайте предположим, что $(x-1)! + 1$ делится на $x$ без остатка. Это означает, что $(x-1)! + 1 = k \cdot x$ для некоторого целого числа $k$.

Теперь рассмотрим факториал $(x-1)!$. Поскольку $(x-1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (x-2) \cdot (x-1)$, то все числа от 1 до $(x-2)$ являются множителями $(x-1)!$. Это означает, что $(x-1)!$ делится на каждое из чисел от 1 до $(x-2)$ без остатка.

Теперь мы можем выразить $(x-1)! + 1$ как сумму $(x-1)!$ и 1. Исходя из нашего предположения, что $(x-1)! + 1$ делится на $x$ без остатка, а также из того, что $(x-1)!$ делится на каждое из чисел от 1 до $(x-2)$ без остатка, мы можем сделать следующее утверждение:

\begin{align*} (x-1)! + 1 &= k \cdot x \\ (x-1)! &= k \cdot x - 1 \end{align*}

Теперь давайте рассмотрим $k \cdot x - 1$ как $(x-1) \cdot k - 1$. Здесь $(x-1)$ - это один из множителей $(x-1)!$. Так как $(x-1)!$ делится на $(x-1)$ без остатка, то $(x-1) \cdot k$ тоже делится на $(x-1)$ без остатка. А значит, $(x-1) \cdot k - 1$ не делится на $(x-1)$ без остатка.

Таким образом, мы приходим к противоречию, и наше предположение о том, что $(x-1)! + 1$ делится на $x$ без остатка, неверно. Значит, $(x-1)! + 1$ не делится на $x$ без остатка.

Следовательно, $(x-1)! + 1$ не делится на $x$ без остатка, что эквивалентно тому, что остаток от деления $(x-1)! + 1$ на $x$ равен 1.

Таким образом, мы доказали, что для любого $x$, принадлежащего серии натуральных чисел, выражение $(x-1)! + 1$ не делится на $x$ без остатка, а значит, остаток от деления $(x-1)! + 1$ на $x$ равен 1.