Question

Найдите площадь фигуры огран.линиями y=x^2, y=5x-4 ( интеграл )

Answer 1

Точки пересечения графиков:

$y=x^2\; ,\; \; y=5x-4\\\\x^2=5x-4\; \to \; \; x^2-5x+4=0\; ,\; \; x_1=1\; ,\; x_2=4\\\\S=\int\limits^4_1\, (5x-4-x^2)\, dx=(-\frac{x^3}{3}+5\cdot \frac{x^2}{2}-4x)\Big |_1^4=\\\\=-\frac{64}{3}+\frac{80}{2}-16-(-\frac{1}{3}+\frac{5}{2}-4)=-21+37,5-12=4,5$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры между кривыми y = x^2 и y = 5x - 4, необходимо вычислить определенный интеграл от разности этих функций в пределах, где они пересекаются.

Сначала найдем точки пересечения кривых, приравняв уравнения друг к другу и решив уравнение:

x^2 = 5x - 4

Приравняем уравнение к нулю:

x^2 - 5x + 4 = 0

Факторизуем:

(x - 1)(x - 4) = 0

Таким образом, x = 1 и x = 4 - это точки пересечения кривых.

Теперь вычислим определенный интеграл площади между кривыми:

Площадь = ∫[a, b] [(верхняя функция) - (нижняя функция)] dx

где a и b - точки пересечения (1 и 4 в нашем случае).

Площадь = ∫[1, 4] [(5x - 4) - x^2] dx

Раскроем скобки:

Площадь = ∫[1, 4] (5x - 4 - x^2) dx

Теперь проинтегрируем:

Площадь = [5/2 * x^2 - 4x - (1/3 * x^3)] |[1, 4]

Подставим верхний и нижний пределы:

Площадь = [5/2 * 4^2 - 4 * 4 - (1/3 * 4^3)] - [5/2 * 1^2 - 4 * 1 - (1/3 * 1^3)]

Площадь = [5/2 * 16 - 16 - (1/3 * 64)] - [5/2 * 1 - 4 * 1 - (1/3 * 1)]

Площадь = [40 - 16 - 64/3] - [5/2 - 4 - 1/3]

Площадь = [40 - 48/3] - [5/2 - 12/2 - 1/3]

Площадь = [40 - 16] - [10/2 - 12/2 - 1/3]

Площадь = 24 - 10/2 + 12/2 + 1/3

Площадь = 24 - 5 + 6 + 1/3

Площадь = 25 + 1/3

Ответ: Площадь фигуры огран.линиями y = x^2 и y = 5x - 4 равна 25 1/3 или 25.33333 (в приближенном виде).