Question

Решить уравнение: 2sin²x+5sinx+2=0

Answer 1

Уравнения с тригонометрическими функциями часто решаются через замену функции другой переменной.

При решении уравнения с тригонометрической функцией важно помнить

Основную тригонометрическую формулу: 1 = sin2a + cos2а;

Внимательно следить за ОДЗ (область допустимых значений);

Заменять тригонометрическую функцию можно только тогда, когда в уравнении больше нет других тригонометрических функций.

Нам дано уравнение 2cos2x + 5sinx + 1 = 0

Заменим cos2x синусом в квадрате по формуле 1 = sin2a + cos2а.

Из этой формулы следует, что cos2а = 1 - sin2a.

Подставим выраженное значение cos2а в наше уравнение.

2(1 - sin2a) + 5sinx + 1 = 0

Раскрываем скобки и подводим подобные слагаемые.

2 - 2sin2a + 5sinx + 1 = 0

- 2sin2a + 5sinx + 3 = 0

Умножим все уравнение на (- 1) для облегчения дальнейших расчетов.

2sin2a - 5sinx - 3 = 0

Произведем замену

Пусть sina = р.

Получается квадратное уравнение 2р2 - 5р - 3 = 0.

Решаем его через дискриминант.

а = 2, в = - 5, с = - 3.

D = в2 - 4ас = 52 - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49 (кв.корень равен 7)

р1 = (5 + 7)/(2 * 2) = 12/4 = 3

р2 = (5 - 7)/(2 * 2) = (- 2)/4 = - 1/2

Возвращаемся к замене

sin2a = р. Подставляем вместо Р получившиеся корни 3 и - 1/2.

sina = 3 (такого не может быть, синус всегда меньше единицы, но больше минус единицы)

sina = - 1/2

С помощью единичной окружности находим:

а = - П/6 + 2Пn, n - целое число

а = - 5П/6 + 2Пn, n - целое число

Answer 2

Для решения уравнения 2sin²x + 5sinx + 2 = 0, давайте введем временную замену, чтобы упростить запись. Обозначим sin(x) за t. Теперь уравнение примет вид:

2t² + 5t + 2 = 0

Это уравнение является квадратным, и мы можем решить его, используя метод дискриминанта или факторизацию. Давайте решим его с помощью факторизации:

2t² + 5t + 2 = 0

Умножим коэффициенты 2 и 2, чтобы найти два числа, которые складываются до 5 и перемножаются до 4 (произведение коэффициентов первого и последнего члена).

У нас есть: 2 * 2 = 4 и 4 = 4

Теперь разложим средний член уравнения 5t на две части, используя найденные числа:

2t² + 4t + t + 2 = 0

Теперь сгруппируем первые два члена и последние два члена:

(2t² + 4t) + (t + 2) = 0

Теперь выносим общий множитель из каждой группы:

2t(t + 2) + 1(t + 2) = 0

Мы видим, что у нас общий множитель (t + 2), поэтому мы можем вынести его за скобки:

(2t + 1)(t + 2) = 0

Теперь у нас есть произведение двух множителей равное нулю, что означает, что хотя бы один из них должен быть равен нулю:

2t + 1 = 0 или t + 2 = 0

Теперь решим каждое уравнение:

1. 2t + 1 = 0 2t = -1 t = -1/2

2. t + 2 = 0 t = -2

Теперь нам нужно вернуться к исходной переменной sin(x):

1. sin(x) = t = -1/2
2. sin(x) = t = -2

Теперь, чтобы найти значения x, давайте найдем обратные синусы для каждого случая:

1. sin(x) = -1/2 x = arcsin(-1/2) ≈ -30° или -150° (в первом и четвертом квадрантах)

2. sin(x) = -2 Здесь мы сталкиваемся с проблемой, потому что синус функции не может быть больше 1 и меньше -1. Это уравнение не имеет реальных решений.

Итак, уравнение 2sin²x + 5sinx + 2 = 0 имеет два решения: приближенно -30° и -150°.