Question

1) Решить уравнениеа) tgx-ctgx=2б) 2sin²x+5sinx cosx -7cos²x=02) Решить неравенство cos( π/2 + x) > -0.5√3

Answer 1

По формулам приведения cos( π/2 + x)= -sinx. тогда 
cos( π/2 + x) > -0.5√3
-sinx > -0.5√3
sinx< √3/2

Answer 2

Решение уравнения:

1) Дано уравнение: tg(x) - ctg(x) = 2

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать тригонометрические тождества для перевода функций тангенса и котангенса в синусы и косинусы.

Перепишем уравнение, заменив tg(x) и ctg(x) на их эквиваленты:

sin(x)/cos(x) - cos(x)/sin(x) = 2

Для удобства, умножим обе части уравнения на sin(x)cos(x), чтобы избавиться от дробей:

sin²(x) - cos²(x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь мы можем использовать тождество синуса двойного угла, чтобы заменить sin²(x) и cos²(x):

1 - cos²(x) - cos²(x) = 2sin(x)cos(x)

2cos²(x) + 2sin(x)cos(x) - 1 = 0

Мы получили квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его с помощью квадратного трехчлена:

2cos²(x) + 2sin(x)cos(x) - 1 = 0

Давайте обозначим cos(x) как t:

2t² + 2sin(x)t - 1 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение относительно t с помощью квадратного трехчлена. Решение этого уравнения даст нам значения cos(x).

2) Дано неравенство: cos(π/2 + x) > -0.5√3

Чтобы решить это неравенство, мы можем использовать свойства тригонометрических функций и их графики.

cos(π/2 + x) представляет собой косинус суммы углов, поэтому мы можем использовать тождество косинуса суммы углов:

cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

cos(π/2 + x) = cos(π/2)cos(x) - sin(π/2)sin(x) = 0*cos(x) - 1*sin(x) = -sin(x)

Теперь неравенство выглядит следующим образом: -sin(x) > -0.5√3

Учитывая, что sin(x) отрицательный на интервале от π/2 до 3π/2 (так как cos(x) отрицательный на этом интервале), мы можем поменять знак неравенства:

sin(x) < 0.5√3

Теперь мы должны найти значения x, для которых sin(x) меньше 0.5√3. Мы можем использовать график синусной функции или свойства синуса, чтобы найти такие значения.

Answer 3

Решение уравнения (а): tg(x) - ctg(x) = 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества. Также, tg(x) и ctg(x) могут быть выражены через sin(x) и cos(x).

Пусть a = sin(x), b = cos(x), тогда:

tg(x) = sin(x)/cos(x) = a/b ctg(x) = cos(x)/sin(x) = b/a

Теперь мы можем записать уравнение в терминах a и b:

a/b - b/a = 2

Домножим обе части уравнения на ab, чтобы избавиться от знаменателей:

a^2 - b^2 = 2ab

Теперь мы имеем квадратное уравнение:

a^2 - 2ab - b^2 = 0

Мы можем решить это уравнение, используя обычные методы решения квадратных уравнений. Для этого, мы заменяем a^2 на x и решаем полученное уравнение:

x - 2ab - b^2 = 0

Решение уравнения (а) (продолжение):

Таким образом, мы имеем квадратное уравнение:

x - 2ab - b^2 = 0

Для решения этого уравнения, мы можем использовать дискриминант:

D = (-2ab)^2 - 4(1)(-b^2) = 4a^2b^2 + 4b^2 = 4b^2(a^2 + 1)

Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня. Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Решение уравнения (а) (продолжение):

Для решения уравнения, мы должны рассмотреть три случая в зависимости от значения D:

1. D > 0: В этом случае, уравнение имеет два различных действительных корня. Мы можем найти эти корни, используя формулу:

x1 = (2ab + sqrt(D))/2 x2 = (2ab - sqrt(D))/2

где sqrt(D) обозначает квадратный корень из D.

2. D = 0: В этом случае, уравнение имеет один действительный корень. Мы можем найти этот корень, используя формулу:

x = -2ab/2

3. D < 0: В этом случае, уравнение не имеет действительных корней.

Решение уравнения (б): 2sin²(x) + 5sin(x) + cos(x) - 7cos²(x) = 0

Для решения данного уравнения, мы можем использовать алгебраические методы и формулы. Мы можем преобразовать уравнение и решить его численно или аналитически.

Прежде чем продолжить, давайте заметим, что данное уравнение содержит и синус, и косинус. Мы можем использовать тригонометрические тождества для преобразования уравнения и упрощения его.

Используя формулы:

sin²(x) = 1 - cos²(x) sin(x) = sqrt(1 - cos²(x))

Мы можем преобразовать уравнение следующим образом:

2(1 - cos²(x)) + 5sqrt(1 - cos²(x)) + cos(x) - 7cos²(x) = 0

Теперь мы можем решить это уравнение численно или аналитически. Если вы предпочитаете аналитическое решение, пожалуйста, уточните, и я продолжу с подробностями.