Question

Делится ли на 37 значение выражения: 333^456 + 222^245 - 111^234 Объясните пожалуйста!

Answer 1

Числа 111, 222 и 333 в любых степенях делятся на 111.

Но 111 = 3*37, поэтому они делятся на 3 и на 37.

И их сумма тоже делится на 37.

Answer 2

Для проверки того, делится ли значение выражения на 37, нужно вычислить это значение и затем выполнить деление на 37, проверив остаток. Однако, вычисление выражения вручную с такими большими степенями может быть очень сложным и занимать много времени.

Вместо этого, можно воспользоваться свойствами арифметики, чтобы упростить вычисление. Один из таких приемов - это взятие остатка от деления больших чисел на 37 без непосредственного вычисления самих чисел. Если остаток равен нулю, это будет означать, что число делится на 37.

Согласно теореме остатков, у нас есть следующее свойство: (a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n

Также, поскольку 37 простое число, то для любого целого числа a: a^b mod 37 = (a mod 37)^b mod 37

Теперь давайте рассмотрим наше выражение: 333^456 + 222^245 - 111^234

Мы возьмем остатки от деления каждого числа на 37 и затем применим свойство суммы остатков: (333^456 mod 37 + 222^245 mod 37 - 111^234 mod 37) mod 37

Теперь вычислим остатки для каждой из этих степеней: 333 mod 37 = 10 222 mod 37 = 15 111 mod 37 = 11

Теперь заменим в исходном выражении степени чисел на их остатки: (10^456 mod 37 + 15^245 mod 37 - 11^234 mod 37) mod 37

Теперь вычислим степени остатков: 10^456 mod 37 = (10^3)^152 mod 37 = 1000^152 mod 37 = 1^152 mod 37 = 1 15^245 mod 37 = (15^3)^81 * 15^2 mod 37 = 3375^81 * 225 mod 37 = (1)^81 * 225 mod 37 = 225 11^234 mod 37 = (11^3)^78 * 11^0 mod 37 = 1331^78 * 1 mod 37 = (1)^78 * 1 mod 37 = 1

Теперь заменим степени остатков в исходном выражении на их значения: (1 + 225 - 1) mod 37 = 225 mod 37 = 3

Таким образом, значение исходного выражения равно 3. А так как 3 не делится на 37 без остатка, то исходное выражение не делится на 37.