Question

Помогите, пожалуйста, найти производную yy=(cos(x)*ln(x) ) / sin^2 (x)

Answer 1

Все решение на фотографии.

Answer 2

Для того чтобы найти производную функции yy=(cos(x)*ln(x))/sin^2(x), мы будем использовать правила дифференцирования элементарных функций и правило производной отношения.

Для начала, разделим функцию на две части, чтобы легче было вычислить производную:

y₁(x) = cos(x) * ln(x) y₂(x) = sin^2(x)

Теперь найдем производные этих двух функций по отдельности:

1. Найдем производную функции y₁(x) = cos(x) * ln(x):

Для этого воспользуемся правилом производной произведения функций: (d/dx) [u(x) * v(x)] = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)

где u(x) = cos(x) и v(x) = ln(x).

Таким образом, y₁'(x) = (d/dx) [cos(x) * ln(x)] = cos'(x) * ln(x) + cos(x) * ln'(x)

Для cos(x) производная равна: cos'(x) = -sin(x) Для ln(x) производная равна: ln'(x) = 1/x

Подставляем значения: y₁'(x) = -sin(x) * ln(x) + cos(x) * (1/x)

2. Найдем производную функции y₂(x) = sin^2(x):

Для этой функции, применим правило производной квадрата функции: (d/dx) [u^2(x)] = 2 * u(x) * u'(x)

где u(x) = sin(x).

Тогда, y₂'(x) = (d/dx) [sin^2(x)] = 2 * sin(x) * sin'(x)

Для sin(x) производная равна: sin'(x) = cos(x)

Подставляем значение: y₂'(x) = 2 * sin(x) * cos(x)

Теперь, используя найденные производные y₁'(x) и y₂'(x), вычислим производную yy'(x):

yy'(x) = (y₁'(x) * y₂(x) - y₁(x) * y₂'(x)) / y₂^2(x)

Подставим значения: yy'(x) = (-sin(x) * ln(x) + cos(x) * (1/x)) * sin^2(x) - (cos(x) * ln(x)) * 2 * sin(x) * cos(x) / sin^4(x)

Упростим выражение: yy'(x) = -sin(x) * ln(x) * sin^2(x) + cos(x) * (1/x) * sin^2(x) - 2 * cos^2(x) * ln(x) / sin^2(x)

Таким образом, производная функции yy=(cos(x)*ln(x))/sin^2(x) равна:

yy'(x) = -sin(x) * ln(x) * sin^2(x) + cos(x) * (1/x) * sin^2(x) - 2 * cos^2(x) * ln(x) / sin^2(x)