Question

Довести нерівність х2+2у2+2ху=6у+10>0 Дуже дякую

Answer 1

x²+2y²+2xy+6y+10=(x²+2xy+y²)+(y²+6y+9)+1=(x+y)²+(y+3)²+1

Так как квадрат числа неотрицателен, неравенство

(x+y)²+(y+3)²+1>0

верно при любых x, y

Доказано.

Answer 2

Для того щоб довести нерівність $x^2 + 2y^2 + 2xy > 6y + 10$, ми спробуємо скористатися методом доповнень до квадрату (completing the square).

1. Почнемо зі збільшення кожної сторони нерівності на $10$, щоб звести її до такої форми: $x^2 + 2y^2 + 2xy - 6y > 0$

2. Тепер спробуємо виділити квадратичний термін стосовно $x$ та $y$. Для цього зосередимось на перших трьох доданках:

$(x^2 + 2xy) + 2y^2 - 6y > 0$

3. Спостерігаємо, що вираз $x^2 + 2xy$ можна представити як квадратичний тригранник $(x + y)^2$:

$(x + y)^2 + 2y^2 - 6y > 0$

4. Тепер можемо згрупувати перші два доданки як квадратичний тригранник:

$(x + y)^2 + 2y^2 - 6y = (x + y)^2 + 2(y^2 - 3y)$

5. Далі, нам знадобиться додати і відняти $3$ у дужках для завершення квадратичного тригранника:

$(x + y)^2 + 2(y^2 - 3y + 9 - 9) > 0$

6. Тепер можемо розбити дужку у другому доданку на два квадратичних тригранника, а саме $(y - 3)^2$:

$(x + y)^2 + 2((y - 3)^2 - 9) > 0$

7. Знову згрупуємо перші два доданки як квадратичний тригранник:

$(x + y)^2 + 2(y - 3)^2 - 18 > 0$

8. Нарешті, ми можемо записати нерівність у більш компактному вигляді:

$(x + y)^2 + 2(y - 3)^2 > 18$

Отже, ми довели нерівність $x^2 + 2y^2 + 2xy > 6y + 10$ у еквівалентній формі $(x + y)^2 + 2(y - 3)^2 > 18$.