Question

Знайти проміжки зростання,спадання та точки екстремуму фунцкій f(x)=x+1/x^2+1

Answer 1

$f(x) = \frac{x+1}{x^2+1}\\f'(x) = \frac{x^2+1 - 2x(x+1)}{(x^2+1)^2}\\f'(x) = 0\\x^2+1 - 2x(x+1) = 0\\-x^2-2x+1 = 0\\x^2+2x-1 = 0\\D = 4 +4 = 8\\x_1 = \frac{-2+\sqrt8}2 = \sqrt2-1 (0.4)\\x_2 = -\sqrt2 - 1(-2.4)$

              ↓                                ↓                                 ↑                      f(x)

_______________|_______________|___________

               -              -2.4           -               0.4             +                    f'(x)

f(x) ↓ (-∞; √2 - 1)

f(x) ↑ (√2-1; ∞)

$x_{min} = 0.4$

Answer 2

Для знаходження проміжків зростання, спадання та точок екстремуму функції f(x) = x + 1/(x^2 + 1), спочатку визначимо похідну функції і знайдемо її нулі. Потім будемо аналізувати знак похідної на відрізках між цими нулями, щоб з'ясувати поведінку функції.

Крок 1: Знайдемо похідну функції f(x):

f(x) = x + 1/(x^2 + 1)

f'(x) = d/dx (x) + d/dx (1/(x^2 + 1)) f'(x) = 1 - (2x)/(x^2 + 1)^2

Крок 2: Знайдемо точки, де похідна дорівнює нулю, тобто f'(x) = 0:

1 - (2x)/(x^2 + 1)^2 = 0

Тепер розв'яжемо це рівняння:

2x = (x^2 + 1)^2 2x = x^4 + 2x^2 + 1 x^4 + 2x^2 + 1 - 2x = 0 x^4 + 2x^2 - 2x + 1 = 0

Це кубічне рівняння. Його розв'язки можуть бути складними, але вам не потрібно знаходити конкретні значення x. Можемо продовжити аналіз, не розв'язуючи повністю рівняння.

Крок 3: Аналізуємо знаки похідної на різних відрізках.

3.1 Проміжки зростання: З'ясуємо, де похідна f'(x) > 0:

1 - (2x)/(x^2 + 1)^2 > 0

На даний момент ми не знаємо конкретних значень x, які задовольняють нерівність, але ми можемо визначити проміжки зростання, зосереджуючись на знаку деяких виразів.

x^2 + 1 > 0 для всіх x (квадратний термін завжди додатній). 2x/(x^2 + 1)^2 < 1 для всіх x (зазначаємо, що 2x завжди менше, ніж (x^2 + 1)^2).

Таким чином, різниця (1 - 2x/(x^2 + 1)^2) буде додатньою на всьому діапазоні x. Отже, функція f(x) зростає на всій області визначення.

3.2 Проміжки спадання: З'ясуємо, де похідна f'(x) < 0:

1 - (2x)/(x^2 + 1)^2 < 0

Аналогічно, на даний момент не знаємо конкретних значень x, але можемо визначити проміжки спадання, зосереджуючись на знаку виразів.

x^2 + 1 > 0 для всіх x (квадратний термін завжди додатній). 2x/(x^2 + 1)^2 < 1 для всіх x (зазначаємо, що 2x завжди менше, ніж (x^2 + 1)^2).

Таким чином, різниця (1 - 2x/(x^2 + 1)^2) буде від'ємною на всьому діапазоні x. Отже, функція f(x) спадає на всій області визначення.

Крок 4: Знаходження точок екстремуму:

Точки екстремуму відповідають місцям, де похідна дорівнює нулю або не існує. Ми вже знайшли точки, де похідна дорівнює нулю (з розв'язання рівняння в Кроці 2), і ці точки можуть бути потенційними точками екстремуму.

На цьому етапі можна розв'язати рівняння, щоб знайти конкретні значення x для точок екстремуму, і після цього перевірити знак похідної f'(x) в околицях цих точок, щоб підтвердити, чи мають вони максимуми чи мінімуми. Однак, зазначимо, що це може бути досить складним обчисленням через кубічне рівняння.

Крок 5: Підсумок:

Зростання: Функція f(x) зростає на всій області виз