Question

1.Тіло рухається за законом s(t)=2/3t^3+t^2+t. Знайти швидкість через 2 секунди після початку руху. 2. Знайти проміжки спадання функції f(x)=x^2+4x+3 3. Знайти проміжки зростання функції f(x)=x^3+x^2-x-8

Answer 1

1)

$s'(t)=v(t)$

найти:

$v(2)=?$

$s(t)=2/3t^3+t^2+t\\v(t)=s'(t)=2t^2+2t+1\\v(2)=2*4+2*2+1=8+4+1=13$

ОТВЕТ; $v(2)=13$

2)

функция убывает в промежутке $f'(x)\leq 0$

$f(x)=x^2+4x+3\\f'(x)=2x+4\\2x+4\leq 0\\2x\leq -4\\x\leq -2$

ОТВЕТ: функция убывает в промежутке  $x \in (-\infty;2]$

3)

функция возрастает в промежутке $f'(x)\geq 0$

$f(x)=x^3+x^2-x-8\\f'(x)=2x^2+2x-1\\3x^2+2x-1\geq 0\\(x+1)(3x-1)\geq 0$

ОТВЕТ: функция возрастает в промежутке: $x \in (-\infty;1] \cup [\frac{1}{3};+\infty)$

Answer 2

1. Щоб знайти швидкість тіла через 2 секунди після початку руху, спершу знайдемо похідну функції від відстані s(t) по відношенню до часу t, тобто швидкість v(t):

s(t) = (2/3)t^3 + t^2 + t

Для знаходження похідної від s(t) застосовуємо правило диференціювання поточної степені:

v(t) = s'(t) = d/dt [(2/3)t^3 + t^2 + t] = 2t^2 + 2t + 1

Тепер можемо знайти швидкість через 2 секунди:

v(2) = 2(2)^2 + 2(2) + 1 = 8 + 4 + 1 = 13

Отже, швидкість тіла через 2 секунди після початку руху дорівнює 13 одиницям часу (наприклад, м/с).

2. Для знаходження проміжків спадання функції f(x) = x^2 + 4x + 3 спершу знайдемо похідну функції і визначимо, де вона є негативною (де функція спадає):

f(x) = x^2 + 4x + 3

f'(x) = d/dx [x^2 + 4x + 3] = 2x + 4

Для знаходження точок перетину з осьовою абсцис можемо розв'язати рівняння f(x) = 0:

x^2 + 4x + 3 = 0

Це квадратне рівняння має корені x = -3 та x = -1.

Тепер аналізуємо знак похідної f'(x) на інтервалах:

• Інтервал (-∞, -3): f'(x) < 0 (спадає)
• Інтервал (-3, -1): f'(x) > 0 (зростає)
• Інтервал (-1, ∞): f'(x) > 0 (зростає)

Отже, функція f(x) спадає на інтервалах (-∞, -3).

3. Для знаходження проміжків зростання функції f(x) = x^3 + x^2 - x - 8 спершу знайдемо похідну функції і визначимо, де вона є додатною (де функція зростає):

f(x) = x^3 + x^2 - x - 8

f'(x) = d/dx [x^3 + x^2 - x - 8] = 3x^2 + 2x - 1

Для знаходження точок перетину з осьовою абсцис можемо розв'язати рівняння f(x) = 0:

x^3 + x^2 - x - 8 = 0

Аналізуємо знак похідної f'(x) на інтервалах:

• Інтервал (-∞, -2): f'(x) < 0 (спадає)
• Інтервал (-2, 1/3): f'(x) > 0 (зростає)
• Інтервал (1/3, ∞): f'(x) > 0 (зростає)

Отже, функція f(x) зростає на інтервалах (-2, 1/3) і (1/3, ∞).